Mathématiques de la modélisation

 Le parcours Mathématiques de la modélisation

Le parcours Mathématiques de la modélisation est une variante renforcée du parcours Mathématiques, applications et enseignement. Il propose une formation complète en mathématiques appliquées qui a pour but d’entraîner des étudiants de haut niveau et sélectionnés aux problématiques liées à la modélisation en biologie, en économie et en physique. L’accent est mis sur la découverte progressive du monde de la recherche, avec un travail sur projet dès la deuxième année et un stage en laboratoire en fin de licence. À l’issue de ce parcours, les étudiants sont idéalement préparés pour intégrer et réussir un master recherche ou professionnel en mathématiques appliquées, ingénierie mathématique, biostatistiques, économie et finance mathématiques.

Au sein de l’Université Paris Descartes, la poursuite d’études la plus naturelle est la spécialité Mathématiques Appliquées du master Mathématique et Informatique.

 Le programme des trois années

La première année (semestres 1 et 2) est une année de tronc commun commune à tous les parcours de la licence. La deuxième année (semestres 3 et 4) est une année de spécialisation progressive. La troisième année est propre à chaque parcours. La troisième année de ce parcours ne sera ouverte qu’en septembre 2011.

L1 Semestre 1 (Tronc commun)

MLM101 Mathématiques et calcul 1 Mathématiques et calcul 1 (MLM101) Objectifs: Ce cours introduit, les outils mathématiques nécessaires dans les autres disciplines scientifiques et permet de développer une certaine habileté au calcul. Il présente également les objets importants et introduit leur maniement. Ces mêmes objets seront revus en seconde année de façon plus approfondie; le bagage de première année devrait permettre une compréhension plus rapide et une plus grande facilité à maitriser les points techniques. Compétences acquises: Maitrise des outils mathématiques de base. Programme: * Énsembles, applications, dénombrement * Présentation des nombres réels * Suites : définition par récurrence, calcul et comportement asymptotique * Nombres complexes et géométrie du plan * Fonctions : étude locale et globale, polynômes, fonctions usuelles, développements limités * Calcul avec des vecteurs * Calcul matriciel, systèmes linéaires * Déterminants en dimension 2 et 3 Responsable du module: François PATTE UE Informatique 1 MLI130A Connaissances de base en informatique Connaissances de base en informatique (MLI130A) Objectifs: Fournir aux étudiants les connaissances de base en informatique en particulier sur les points suivants : - Algorithmique et résolution de problèmes - Architecture des machines et système d'exploitation, en particulier le système Linux Compétences acquises: Savoir utiliser un ordinateur sous linux Savoir écrire un algorithme correspondant à un problème élémentaire MLI130B Initiation à la programmation Initiation à la programmation (MLI130B) Objectifs: L'objectif du cours est l'initiation à la programmation. Le langage support est Pascal. Les étudiants apprennent à fabriquer un logiciel au sens minimal du terme. Ils comprennent ce que signifie code source, langage de programmation, code exécutable, compiler, exécuter, utiliser un programme, entrée, sortie, pour s'approprier le concept pratique de programmation. Algorithmique n'est pas abordée par ce cours. Pendant les 7 semaines du cours, un concept de programmation est abordé chaque semaine. Compétences acquises: Connaissance et construction d'un programme en Pascal, les entrées-sorties, les variables, les affectations, les instructions conditionnelles, les instructions répétitives, les tableaux, les fonctions et les procédures. Programme: s1: 1ers programmes, e-s s2: Variables, Déclarations, Affectations, Opérateurs s3: Conditions, tests s4: Répétitives s5: Tableaux s6: Fonctions s7: Révision Responsable du module: Bruno BOUZY 2 UE de découverte au choix MLA155 Biologie 1 Biologie 1 (MLA155) Objectifs: Après un rappel sur la nature des constituants chimiques de la cellule et les notions générales sur l'organisation des cellules encaryotes, des bactéries et des virus. Une large partie du cours sera accordée à l'éventail des techniques couramment utilisées pour l'étude de la structure, de la constitution psysico-chimique et du fonctionnement de la cellule. Compétences acquises: Connaître les schémas des types cellulaires, la structure et les fonctions des organites cellulaires, maîtriser les méthodes d'étude des cellules qui sont le point de départ des progrès des connaissances en biologie. Programme: * L'organisation de la cellule (cellule procaryote et cellule eucaryote) et les organites cellulaires * Les molécules biologiques : glucides, lipides, protéines et acides nucléiques * Les virus : diversité et organisation du monde viral * Les différentes méthodes d'étude de la cellule (histologie, autoradiographie, fractionnement cellulaire, immunocytologie et chromatographie) * Le cycle cellulaire et les activités de transcription et de réplication. Responsable du module: Dominique AUBERT-MARSON MLA160 Physique 1 Physique 1 (MLA160) Objectifs: il s'agit d'une première approche de la physique qui a l'avantage d'utiliser tous les outils et concepts nécessaires à l'analyse des phénomèmes macroscopiques. Compétences acquises: regards sur la mécanique newtonienne (cinématique,dynamique et énergétique) - modélisations (oscillateurs) - méthodes (mouvement à deux corps) Programme: - Mécanique du point Référentiels - Cinématique - Principe de la dynamique - du point - Travail et puissance - Oscillateurs - Interaction de deux points matériels - Mouvement d'un point matériel dans un champ Newtonien. Responsable du module: Michel PULLICINO MLA175 Economie 1 Economie 1 (MLA175) Objectifs: Microéconomie Il s’agit d’étudier les comportements d’agents individuels (ménages et entreprises) et d’examiner comment les résultantes de ces comportements (c’est-à-dire la consommation et la production) peuvent être compatibles entre elles. Compétences acquises: Fondements de la microéconomie, approche économique des décisions individuelles de consommation et de production. Programme: I. Introduction à la microéconomie II. L'offre et la demande : Demande individuelle, demande globale et ses déterminants Offre globale et ses déterminants Notion d'élasticité III. Théorie du consommateur : Préférences et courbes d'indifférence, Taux marginal de substitution Contraintes de budget des consommateurs Décisions optimales de consommation Notion d'utilité IV. L'offre de production : Fonction de production, isoquante, TMST Les fonctions de coût Décisions optimales de production V. Equilibre en concurrence pure et parfaite Offre de la firme en situation parfaitement concurrentielle Notion d'équilibre partiel Propriétés de l'équilibre Responsable du module: Johanna ETNER UE Sciences Humaines 1 MLA165A H1 Sociologie H1 Sociologie (MLA165A) Objectifs: Il sera proposé aux étudiants d'entrer dans la discipline en pratiquant la sociologie et en se familiarisant avec les outils méthodologiques permettant d'aller chercher les données. Le but est de s'essayer à la discipline tout en abordant quelques grands thèmes classiques de la sociologie qui viendront sous forme d'exemples étayer le cours. Les étudiants seront amenés à s'initier à la réflexivité en sciences sociales en se posant des questions sur leur place d'enquêteur et sur la manière dont celle-ci est perçue par les enquêtés. Compétences acquises: Connaissances des différentes méthodes d'enquête. Introduction à un questionnement réflexif sur sa pratique. Maîtrise des différentes étapes de l'enquête. Programme: 1 / Introduction: qu'est-ce que la sociologie? 2 / Introduction suite: entrée dans la méthode. 3 / Les différentes méthodes d'enquête en sociologie 4 / L'enquête par entretien 5 / La réflexivité: objectiver sa position d'enquêteur 6 / Elaboration du questionnaire 7 / Elaboration du questionnaire 8 / Travail sur la faisabilité de l'enquête 9 / Travail sur la faisabilité de l'enquête 10 / Présentations orales des étudiants 11 / Présentations orales des étudiants 12 / Restitution des enquêtes / cours de sociologie des médias Responsable du module: Martin THIBAULT MLA165B H1 Linguistique H1 Linguistique (MLA165B) Objectifs: Introduire à une réflexion sur le langage et les langues et sur la manière dont une discipline, les sciences du langage, étudie cette activité humaine fondamentale. Compétences acquises: Prendre connaissance de ce que peut être la linguistique, ses champs et domaines d’étude et ses méthodes d’investigation. Programme: # Diversité des langues (3 séances de 2 h.) Comment se répartissent les quelques 6.000 langues répertoriées dans le monde ? Quel est leur statut institutionnel (notamment en France et en Europe) et quelles sont les attitudes (positives/négatives) que les locuteurs ont sur leur langue/la langue de l’« autre » ? La question de la disparition des langues. # Classement des langues (3 séances de 2 h.) Quels critères retenir pour classer les quelques 6000 langues répertoriées dans le monde et quels types de classement peuvent en rendre compte ? # La linguistique comme science du langage (3 séances de 2h) Qu’est-ce que la linguistique, ses objectifs, ses domaines et ses méthodes d’analyse ? # Créativité linguistique (3 séances de 2h) Présentation des procédés linguistiques qui organisent le lexique et grâce auxquels les langues renouvellent sans cesse leur vocabulaire pour que les locuteurs, créateurs de « mots » nouveaux, répondent à leur besoin. Responsable du module: Hamid BOUCEFFAR MLC180 Méthodologie du travail universitaire

L1 Semestre 2 (Tronc commun)

MLM201 Mathématiques et calcul 2 Mathématiques et calcul 2 (MLM201) Objectifs: Réalisé dans le même esprit que le cours du premier semestre auquel il fait suite, ce cours introduit les notions nouvelles en se plaçant toujours sur le plan du calcul et de l’utilisation des outils et non sur celui de la formalisation. L’accent sera mis sur l’étude d’exemples. On énoncera les théorèmes utiles dans les applications, le plus souvent sans démonstrations. Le souci d’éviter les problèmes techniques n’empêchera pas de montrer par des contre-exemples les pièges et comportements atypiques. Compétences acquises: Maitrise de méthodes de calcul indispensables dans les applications. Programme: * diagonalisation des matrices * Calcul des primitives, intégrales * Intégrales positives impropres et multiples * Séries numériques, manipulation formelle des séries entières * Fonctions de plusieurs variables * Diagonalisation d’une matrice * Équations différentielles élémentaires Responsable du module: Jean-Claude FORT UE Informatique 2 MLI230A Programmation fonctionnelle Programmation fonctionnelle (MLI230A) Objectifs: Dans ce cours de programmation structurée impérative où le langage Pascal a été choisi pour la première année, nous montrons l’intérêt de l’algorithmie. Les notions fondamentales de procédures et de fonctions, ainsi que les premières structures de données complexes, tableaux et enregistrements seront présentées. Chaque nouvelle notion introduite sera illustrée par des exemples. Compétences acquises: Maîtrise des notions d’algorithmie, de programmation impérative, d’analyse de problèmes par décomposition en tâches élémentaires et choix des structures. Création de programmes simples mais non triviaux, c’est-à-dire qui résolvent des problèmes ne pouvant être résolus à la main. Programme: révisions des notions acquises en prog1 sous programmes types scalaires : énuméré - intervalle - ensemble type chaîne types structurés : enregistrements types structurés : tableaux à plusieurs dimensions fichiers unités et bibliothèques initiation à la complexité Responsable du module: Nicole VINCENT MLI230B Numération et logique Numération et logique (MLI230B) Objectifs: Comprendre les principes de la numération et de la représentation des nombres (entiers, réels, booléens) en informatique. Maîtriser les mécanismes élémentaires de la logique booléenne et les bases du raisonnement déductif. Appréhender la représentation des informations élémentaires dans l'ordinateur. Compétences acquises: Savoir lire des donnés numériques quelle que soit la base et quel que soit le format utilisé et choisir le meilleur format selon le problème à modéliser. Résoudre des systèmes de déductions simples. Construire des circuits logiques élémentaires Programme: histoire de la numération bases 2, 8 et 16, changement de base représentation des entiers, intérêt et limite des différentes représentations représentation des réels, intérêt et limite des différentes représentations représentation des booléens, opérateurs binaires notion de syntaxe et de sémantique écriture parenthésée et notation polonaise d'une expression arbre syntaxique et arbre sémantique déductions circuits logiques, exemple de l'additionneur élémentaire Responsable du module: Dominique SERET UE de culture générale MLC280A Anglais I Anglais I (MLC280A) Programme: Le cours a pour but de remettre les étudiants à niveau en grammaire et de les familiariser à la compréhension de l'anglais oral (enregistrements de conversations ou de mises en situation dans le monde du travail ou universitaire). Un travail de compréhension de l'anglais écrit (sur la base de textes) est également prévu, ainsi que des exercices interactifs d'expression orale (sur la base de textes audio) Responsable du module: BOURGEOIS Hélène MLC280B 1 UE de découverte au choix MLA255 Biologie 2 Biologie 2 (MLA255) Objectifs: Ce cours fait le point des connaissances sur le flux de l'information cellulaire de l'ADN aux protéines. La membrane plasmique et les transports membranaires sont aussi abordés. Compétences acquises: Connaître les activités cellulaires (réplication, transcription et traduction) à l'origine du fonctionnement des cellules, les membranes biologiques (structure et transports). Programme: - La synthèse des protéines et les lysosomes - Les membranes biologiques et les transports membranaires - Le noyau interphasique : structure et ultrastructure, organisation moléculaire et fonctions. Responsable du module: Dominique AUBERT-MARSON MLA260 Physique 2 : électromagnétisme Physique 2 : électromagnétisme (MLA260) Objectifs: Permettre à l’étudiant de comprendre et d’appliquer les principes et concepts physiques fondamentaux qui régissent les phénomènes électrostatiques et magnétostatiques. Compétences acquises: Compréhension de l’origine des phénomènes électrostatiques de la vie courante, bases de l’électrostatique et de la magnétostatique, notion fondamentale de champ. Programme: Electrostatique : Charge électrique, champ électrique, loi de Coulomb, potentiel électrostatique. Energie potentielle. Principe de superposition. Dipôle électrostatique. Champ et potentiel créés par des distributions de charges (discrètes et continues), lignes de champ et équipotentielles (symétries). Flux du champ électrostatique, théorème de Gauss. Conducteurs en équilibre électrostatique, théorème de Coulomb, pression électrostatique. Influence, condensateurs et énergie électrostatique. Magnétostatique : Distribution de courant électrique, Champ magnétique, loi de Biot et Savart. Forces entre éléments de courant, circulation et flux magnétiques. Théorème d’Ampère. Moment magnétique. Energie magnétique. Responsable du module: Sophie BERNARD MLA275 Economie 2 Economie 2 (MLA275) Objectifs: L'objectif de ce cours de macroéconomie est de présenter les processus essentiels déterminant l'équilibre global d'une économie à court terme, dans les versions néoclassiques et keynésiennes. On étudie les grandes fonctions macroéconomiques (consommation, épargne investissement) avant d'exposer la synthèse du modèle IS-LM. Responsable du module: Stéphane ROSSIGNOL UE Sciences Humaines 2 MLA265A H2 Linguistique H2 Linguistique (MLA265A) Objectifs: Introduire à une réflexion sur les relations entre langue et « réalité », montrer comment les langues découpent le réel et faire percevoir que les « découpages » sont divers d’une langue à l’autre. Mettre en évidence malgré cette diversité, les langues ont en commun des traits qui les spécifient comme langue par rapport à d’autres moyens d’expression. Compétences acquises: Mettre au jour et bien comprendre la relativité linguistique. Prendre connaissance de l’existence de codes non linguistiques capables d’être analysés dans le domaine des études sur le langage en général. Pouvoir décoder des messages linguistiques et non linguistiques de la vie sociale et développer ainsi la curiosité et le sens critique de l’étudiant face aux différents messages auxquels il est confronté au quotidien. Programme: # Langue et réalité (4 séances de 2h.) Face à une « même » réalité, les langues en rendent compte diversement ; il en est ainsi, par exemple, du spectre des couleurs découpé différemment selon les langues. Ce phénomène sera illustré au moyen d’exemples puisés dans différentes langues. Travailler sur le nom propre (de personne et de lieu) dans divers supports (presse et publicité). # Le langage, la langue et les « langages » (3 séances de 2h.) Dans l’usage courant le terme langage est aussi bien utilisé pour parler du langage humain et des langues par lesquelles il se manifeste, que du langage des animaux, des fleurs, des vêtements ou encore du langage informatique. Dans cette séance on verra quelles sont les spécificités de ces différents types de langage et surtout ce qui les différencie de la langue. # « Langages » et communication (5 séances de 2h.) Étude pratique de différents types de « langages » (code de la route, code de la route, langage gestuel, …) afin de montrer ce qu’ils permettent de communiquer et comment ils le font. Responsable du module: Hamid BOUCEFFAR MLA265B H2 Sociologie H2 Sociologie (MLA265B) Objectifs: après avoir travaillé sur les méthodes au premier semestre, nous aborderons un thème important de la sociologie (la culture et plus spécifiquement:l'Ecole et les études) en mettant en valeur ses liens avec d'autres champs de la sociologie (la famille, le travail...). La connaissance des méthodes d'enquête permettra aux étudiants de travailler sur ce thème en ayant des connaissances théoriques. Le but est de pouvoir croiser enseignement théorique(abordé en cours) et connaissances empiriques (tirées du travail de terrain). Compétences acquises: mise en perspective des connaissances théoriques avec l'enquête de terrain. Approfondissement du questionnement quant aux méthodes d'enquête. Approfondissement de la réflexivité. Développement d'une analyse personnelle des phénomènes sociaux étudiés (utilisation de la théorie et mise en lien avec l'enquête de terrain). Programme: Cours 1: introduction: Ecole, culture et sociologie Cours 2: Démarche et outils conceptuels Cours 3: Culture dominante et culture légitime Cours 4: La reproduction sociale Cours 5: La politique des 80% au Bac et la démocratisation du système scolaire: « passeport ou mirage? »(une autre méthode et un autre contexte, ce qui a changé depuis l'époque de bourdieu, analyse socio-historique) Cours 6 : Quelle mobilité sociale pour les jeunes de milieux populaires? (l'intérêt de la méthode par entretien) Cours 7: élaboration du questionnaire Cours 8: élaboration du questionnaire cours 9: travail sur la faisabilité cours 10-11: présentation des enquêtes cours 12: rendu des enquêtes/bilan de l'option Responsable du module: Martin THIBAULT

L2 Semestre 3 (Parcours renforcé mathématiques de la modélisation)

MLM304 Algèbre 3 Algèbre 3 (MLM304) Objectifs: S'appuyant sur l'expérience des étudiants en calcul vectoriel ou matriciel, ce cours montre la pertinence de la notion d’espace vectoriel, qui par sa généralité englobe des objets auparavant étudiés séparément. Il bâtit la théorie dans le cadre général de dimension quelconque, mais insiste ensuite particulièrement sur le cas de la dimension finie et sur les connections avec le calcul matriciel. Programme: * Opérations dans un ensemble * Structure d'espace vectoriel * Exemple des polynômes * Applications linéaires et représentation matricielle * Théorie élémentaire du déterminant * Éléments propres et diagonalisation Responsable du module: Antoine CHAMBAZ MLM307 Analyse 3 Analyse 3 (MLM307) Objectifs: L'objectif de ce module est de présenter les bases du calcul infinitésimal en analyse à travers l'étude des suites et séries numériques et fonctions d'une variable réelle. Par ailleurs, une place importante est donnée à la méthodologie dans des problèmes concrets (nature de série, allure d'une courbe paramétrée, etc). Compétences acquises: Maîtrise des théorèmes classiques d'analyse réelle et de leurs démonstrations, savoir appliquer la notion de limite, rédaction d'un exercice d'analyse avec utilisation des quantificateurs. Programme: - Propriétés des nombres réels - Formalisation de la notion de limite de suites, suites équivalentes, sous-suites, valeurs d'adhérences - Séries numériques - Limites de fonctions, fonctions continues, propriétés, uniforme continuité - Propriétés des fonctions dérivables, formules de Taylor - Courbes paramétrées Responsable du module: Frédéric RICHARD MLM320 Introduction aux probabilités Introduction aux probabilités (MLM320) Objectifs: Le premier objectif de ce cours est de faire comprendre le vocabulaire probabiliste élémentaire: espace des événements, probabilité, variable aléatoire, loi d'une variable, et les notations mathématiques associées. Il s'agit ensuite d'introduire de façon simple les notions et outils les plus courants en probabilités et statistiques. Compétences acquises: Connaissance des lois de probabilité classiques et de certaines notions élémentaires en probabilités et statistiques: espérance, variance, estimation, intervalles de confiance. Programme: - notions de probabilité, espace des événements, probabilité uniforme - notions de variable aléatoire (discrète et continue), loi d'une variable - espérance, écart-type, variance d'une variable aléatoire - exemples de lois: Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson, normale, exponentielle - lois jointes et marginales, événements et variables indépendants - probabilités conditionnelles, formule de Bayes, lois conditionnelles - convergences et théorèmes limites: loi des grands nombres, théorème central limite - estimation de moyenne, d'écart-type; notion d'intervalle de confiance - (si possible) tests classiques: tests sur la moyenne, sur la variance (Chi2) - en TP: utilisation du logiciel R, simulation de variables aléatoires, méthode de Monte-Carlo Responsable du module: Joan Alexis GLAUNES 1 UE parmi : MLA355 Biologie 3 Biologie 3 (MLA355) Objectifs: Ce cours est destiné à approfondir les connaissances en biologie cellulaire en étudiant le fonctionnement de la mitochondrie, centrale énergétique de la cellule et en étudiant la structure et le rôle du cytosquelette. Le système immunitaire sera décrit comme exemple de mécanismes mis en jeu pour répondre à une infection. Compétences acquises: Maîtriser les réactions métaboliques conduisant à la synthése d' ATP et comprendre la structure du cytosquelette et en déduire ses rôles. Connaître les différentes étapes de la réaction immunitaire et de la réaction inflammatoire. Programme: Biologie cellulaire : * La mitochondrie : morphologie et ultrastructure * La chaine respiratoire et la synthèse d'ATP * Autres fonctions de la mitochondrie * Synthèse et importation des protéines mitochondriales * Le cytosquelette : les différents éléments et leur rôle Immunologie * Les différentes immunités : réactions à médiation humorale et cellulaire * Les antigènes et les anticorps * Les techniques utilisant les anticorps * Le système HLA et les groupes sanguins * Immunité et maladies : exemple du virus HIV * La réaction inflammatoire MLA375 Economie industrielle 3 Economie industrielle 3 (MLA375) Objectifs: Le but de ce cours est de donner une initiation à l’économie industrielle, en particulier au comportement des entreprises sur les marchés en situation de « concurrence imparfaite ». On détaillera entre autres l’étude du monopole, et des différents modèles de duopoles (Cournot, Bertrand, etc.) Compétences acquises: Connaître et savoir comparer les différentes formes de marché : concurrence pure et parfaite, monopole, oligopoles, concurrence monopolistique. Programme: La concurrence pure et parfaite Le monopole ; les différentes formes de monopoles Le monopole (suite) : maximisation du profit ; gestion à l’équilibre ; maximisation du chiffre d’affaires Les oligopoles : duopole de Cournot, de Bertrand, de Stackelberg Concurrence monopolistique, différenciation des produits Discrimination par les prix Barrières à l’entrée, contestabilité Responsable du module: Stéphane ROSSIGNOL UE de culture générale MLC380A Anglais II Anglais II (MLC380A) Programme: Le cours a pour but de consolider les capacités d'expression et de compréhension orale et écrite des étudiants. Les exercices seront largement basés sur des épreuves de type TOEFL (textes et CD ayant pour environnement le monde universitaire et étudiant). Initiation à l'anglais scientifique (généraliste). Responsable du module: BOURGEOIS Hélène MLC380B Projet professionnel de l'étudiant Projet professionnel de l'étudiant (MLC380B) Objectifs: acquérir une méthode de construction de son projet professionnel Programme: * des séances en salle * un travail documentaire * des contacts avec des professionnels * rapport écrit et oral MLI330 Programmation impérative Programmation impérative (MLI330) Objectifs: L'objectif est de donner aux étudiants les éléments nécessaires à la programmation en C. Après avoir abordé les éléments de base : instructions, variables, structures de contrôle, fonctions, entrée-sorties, ce cours étudie les éléments intermédiaires : les structures de données, les pointeurs, les tableaux, les chaînes de caractères, l'allocation dynamique de mémoire et les possibilités d'un "makefile". Compétences acquises: Savoir traduire un algorithme élémentaire en langage C Savoir compiler et exécuter des programmes C Programme: 1. 1.Programmer en Langage C, Variables , Constantes 2. 2.Opérateurs 3. 3.Fonctions 4. 4.Pointeurs 5. 5.Tableaux 6. 6.Tableaux de caractères – chaîne de caractères 7. 7.Synthèse Tableaux - Pointeurs / Tableau de Pointeurs 8. 8.Structures – Unions – Énumérations 9. 9.Fichiers 10. 10.Pré-processeur 11. 11.Compilation séparée 12. 12.Intégration d’un programme C dans l’environnement hôte Responsable du module: Florence CLOPPET MLI331 Algorithmique 3 Algorithmique 3 (MLI331) Objectifs: L'objectif de ce module est d'étudier comment aborder, analyser et résoudre un problème grâce à une spécification précise et une analyse a posteriori des algorithmes. Compétences acquises: Structures de données (vecteurs, piles, files, structures arborescentes). Recherche d'un élément, tri, récursion, induction, notions élémentaires de complexité. Programme: Pseudo-langage utilisé pour décrire les algorithmes. Rappels de notions mathématiques utiles (opérations ensemblistes) Recherche d’un élément dans un vecteur trié, non trié. Algorithmes de tri sur un vecteur. Calculs élémantaires de complexité. Piles, files. Récursion et induction Structures arborescentes Responsable du module: Elise BONZON

L2 Semestre 4 (Parcours renforcé mathématiques de la modélisation)

MLM404 Algèbre 4 Algèbre 4 (MLM404) Objectifs: Ce cours est constitué de 3 parties. La première complète les notions acquises en algèbre 3 en traitant de la réduction des endomorphisme (diagonalisation et triangulation). La seconde, aborde des notions nouvelles d’algèbre bilinéaire, les espaces vectoriels euclidiens sont traités (produit scalaire réel, norme euclidienne, projection orthogonale, endomorphismes orthogonaux, endomorphismes auto adjoints ou symétriques) et cette partie se termine par la réduction des endomorphismes symétriques. La dernière partie traite de l'étude des systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants. Compétences acquises: Savoir diagonaliser, trigonaliser une matrice. Maitriser les espaces vectrotiels euclidiens, en particulier : savoir déterminer la projection orthogonale sur un sous-espace, savoir orthogonaliser ou orthonormaliser une famille libre de vecteurs ou une base de l'espace, réduire une matrice réelle symétrique. Savoir résoudre un système différentiel linéaire du premier ordre à coefficients constants. Programme: I ) *Réduction des endomorphismes* valeurs et vecteurs propres, polynôme caractéristique, polynôme scindé, Définition* *d'un endomorphisme, d'une matrice diagonalisable Divers théorèmes sur la diagonalisabilité Polynômes d'endomorphismes, polynômes annulateurs, polynôme minimal. Théorème de Cayley-Hamilton Diagonalisation, suite et fin Trigonalisation* : *définition et divers théorèmes* II) *Espaces euclidiens* Définition d'une forme bilinéaire symétrique (fbs). Expression dans une base. Effet d'un changement de base. Définition d'un produit scalaire ; d'un espace euclidien. Norme et distance définies à partir d'un produit scalaire. Orthogonalité, bases orthogonales, orthonormales. Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel.* *Caractérisation par orthogonalité, et par minimum de la distance. Endomorphismes orthogonaux (isométries) Endomorphismes et matrices symétriques/, /réduction. Symétrie orthogonale*. *Relation entre symétries et projecteurs orthogonaux.* *III) *Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants* Norme d'une matrice . Fonctions matricielles : limites, continuité, dérivabilité. Exponentielle d'une matrice carrée. Cas des matrices diagonales ; matrices semblables. La formule de dérivation de fonctions matricielles. Dérivation de la fonction exp(tA) L'espace vectoriel des solutions d'un SD homogène. Pour un SD avec second membre, existence d'une solution unique prenant en 0 des valeurs données (par variation de la constante) Solution d'un SD homogène X'(t) = A X(t) , A matrice carrée constante. Cas particulier : matrice diagonalisable, trigonalisable. Responsable du module: Rachid LOUNES MLM412 Analyse 4 Analyse 4 (MLM412) Objectifs: Dans l’esprit du cours d'analyse 3, ce cours se consacre aux preuves des résultats relatifs aux séries et aux intégrales. Il bâtit une théorie de l’intégration et introduit les nouveaux concepts liés aux suites et séries de fonctions. Compétences acquises: permutation séries / intégrales ; savoir calculer des intégrales multiples ; savoir développer une fonction en série entière ; en série de Fourier ; étudier des intégrales dépendant d’un paramètre (continuité et dérivabilité). La notion de fonction intégrable au sens de Lebesgue est abordée pour des fonctions continues par morceaux. Programme: Suites de fonctions : convergence simple et uniforme (théorème de la double limite). Séries de fonctions : convergence simple et uniforme et normale (théorème de la double limite). Séries entières : rayon de convergence, somme et produit de séries, développement de fonctions en série entière. Série de Fourier : quelques rappels sur les espaces préhilbertiens ; coefficient de Fourier , formule de Parseval ; deux théorèmes de convergence (simple et normale). Notions sur les intégrales multiples sur un ensemble fermé borné ou pas ; quelques méthodes de calcul. Intégrales de Riemann : brefs rappels de notions vues en première année. Intégrales généralisées : intégration sur un intervalle quelconque de R ( définition de fonction de L_1(R)). Intégrales dépendant d’un paramètre (continuité et dérivabilité). La notion de fonction intégrable au sens de Lebesgue est abordée pour des fonctions continues par morceaux. Ceci doit aider les étudiants à mieux comprendre le cours de L3 intégration. Polycopié : pour certains chapitres, un polycopié résumant le cours est distribué. Responsable du module: Nicole RIGAL MLM417 Environnement de calcul scientifique, modélisation Environnement de calcul scientifique, modélisation (MLM417) Objectifs: Introduction aux logiciels de calcul scientifique par l'exemple de Scilab. En manipulant Scilab, on explique le fonctionnement et les limites d'un tel outil numérique. Ceci permet d'illustrer les problèmes pratiques et théoriques posés par le calcul numérique et fournit une introduction à l'analyse numérique. Compétences acquises: Maîtrise d'un logiciel de calcul scientifique proche de ceux utilisés en industrie.Compréhension des problématiques du calcul numérique : précision et complexité des calculs. Programme: *Prise en main de Scilab. Définition des objets : scalaires, matrices, polynômes, ... ; Calcul matriciel et opérations élément par élément ; Représentations graphiques de fonctions, courbes dans le plan et l'espace ; Éléments de programmation. * Introduction aux méthodes numériques : Méthode de Horner ; Interpolation polynomiale ; Intégration numérique ; Résolution de systèmes linéaires. Responsable du module: Georges KOEPFLER 1 UE parmi : MLA455 Biologie 4 Biologie 4 (MLA455) Objectifs: Ce cours abordera les divisions cellulaires (mitose et méiose) ainsi que la régulation de la mitose, ainsi que les concepts de bases et les approches méthodologiques de la génétique classique par l'étude d'un certain nombre de maladies génétiques humaines et montrera la formation des gamètes (spermatogénèse et ovogénèse). Compétences acquises: Maîtriser le vocabulaire spécifique à la génétique, les lois de Mendel, les mutations, la spermatogénèse et l'ovogénèse ainsi que les hormones qui régulent ces deux fonctions. Programme: Génétique des encaryotes * La division cellulaire : mitose, méiose et la régulation du cycle cellulaire * Les modifications de l'ADN * La cartographie des gènes Physiologie de la reproduction 1. Reproduction : * Appareils reproducteurs * Fécondation, nidation * Grandes étapes de la vie sexuelle 2. Bases du développement embryonnaire * Un batracien, le xénope, comme modèle du développement embryonnaire * Approches de l'embryologie humaine Responsable du module: Dominique AUBERT-MARSON MLA475 Economie : Macroéconomie ouverte Economie : Macroéconomie ouverte (MLA475) Objectifs: L’ouverture des frontières et la mobilité des capitaux ont un effet sur les moyens mis en œuvre par les Gouvernements pour agir sur la conjoncture. L’objectif de ce cours est d’analyser les politiques économiques en économie ouverte, en tenant compte du régime de taux de change. Compétences acquises: A l’issue de ce cours les étudiants - sont capables d’utiliser le modèle IS-LM en économie ouverte - ont une meilleure appréhension de la contrainte extérieure dans l’analyse des politiques économiques. Programme: Chapitre 1: Concepts d’économie internationale I. Les taux de change II. La balance des paiements Chapitre 2: Le modèle keynésien en économie ouverte I. L’équilibre sur le marché des biens II. L’équilibre sur le marché de la monnaie III. L’équilibre sur le marché des changes Chapitre 3: Les politiques économiques en économie ouverte I. Les politiques économiques en régime de taux de change fixes 1) Les capitaux sont imparfaitement mobiles a) Politique budgétaire b) Politique monétaire 2) Les capitaux sont parfaitement mobiles a) Politique budgétaire b) Politique monétaire II. Les politiques économiques en régime de taux de change flexibles 1) Les capitaux sont imparfaitement mobiles a) Politique budgétaire b) Politique monétaire 2) Les capitaux sont parfaitement mobiles a) Politique budgétaire b) Politique monétaire Responsable du module: Corinne BARLET MLM422 Introduction aux statistiques Introduction aux statistiques (MLM422) Objectifs: initiation à l'inférence statistique Programme: * Rappels de probabilités * Introduction à l'estimation 1. estimation ponctuelle 2. intervalles de confiance * Introduction à la théorie des tests 1. présentation du problème 2. comparaison de proportions 3. revue de tests non paramétriques 4. tests multiples Responsable du module: Antoine CHAMBAZ MLM421 Modélisation stochastique Modélisation stochastique (MLM421) Objectifs: Ce cours s'appuie sur des exemples variés, inspirés par la biologie, la thermodynamique, les sciences économiques et sociales, pour introduire des modèles aléatoires simples et s'exercer à la simulation. Le programme permet d'aborder de façon élémentaire les chaînes de Markov, les processus de renouvellement et les méthodes de Monte-Carlo. Compétences acquises: Capacité à analyser une situation réelle pour en construire un modèle simple, à l'implémenter avec un logiciel de calcul numérique, et à en tester la pertinence grâce à des simulations. UE Modélisation renforcée MLM418A Modélisation déterministe MLM418B Projet

L3 Semestre 5 (Parcours renforcé mathématiques de la modélisation)

MLM510 Introduction aux systèmes dynamiques Introduction aux systèmes dynamiques (MLM510) Objectifs: C'est un cours d'introduction qui se limitera aux cas simples. On étudiera le cas des équations différentielles résolubles, le comportement asymptotique des systèmes linéaires de dimension deux et la méthode de Newton pour approximer les solutions d'équations. Compétences acquises: Résolution des équations différentielles linéaires de dimension un et deux. Programme: 1. Équations différentielles résolubles * Equations différentielles linéaires scalaires * Equations différentielles de Bernoulli * Equations différentielles de Riccati * Equations différentielles à variables séparées * Equations différentielles homogènes 2. Systèmes linéaires bi-dimensionnels 3. Systèmes itératifs scalaires 4. Méthode de Newton Responsable du module: Mirelle CHALEYAT-MAUREL MLM508 Topologie Topologie (MLM508) Objectifs: Ce cours prépare aux cours de calcul différentielle ou d’analyse fonctionnelle (en master). Il développe la théorie des espaces métriques et détaille le cas particulier des espaces vectoriels normés. En exemple on définira quelques espaces fonctionnels. La notion d’opérateur continu sera donnée et illustrée. Programme: * Espaces topologiques * Espaces métriques * Espaces métriques complets * Espaces métriques compacts * Espaces métriques connexes * Espaces vectoriels normés * Espaces de Banach * Espaces de fonctions continues Responsable du module: Sylvain DURAND MLM512 Intégration et analyse de Fourier Intégration et analyse de Fourier (MLM512) Objectifs: Le but de ce module est de présenter les bases de la théorie de la mesure et de la construction de l'intégrale de Lebesgue. Il permet d'approfondir la notion d'intégrale par rapport à une variable réelle vue précédemment, il propose aussi un lien avec le cours de Topologie du semestre 5 à travers la notion d'espace vectoriel normé de fonctions et il prépare enfin au cours de probabilités approfondies intitulé "Mesure et probabilités" qui a lieu au semestre suivant. Compétences acquises: Maîtrise de la notion d'espace mesuré, savoir appliquer les théorèmes de convergence et calculer des intégrales multiples à l'aide des théorèmes de changement de variables et de Fubini, savoir manier les espaces de fonctions. Programme: - Tribus, mesures, fonctions mesurables - Intégration des fonctions mesurables - Théorèmes de convergence (Beppo-Lévi, Fatou, Lebesgue) - Intégrales dépendant d'un paramètre - Mesure de Lebesgue, lien avec l'intégrale de Riemann - Espaces Lp - Espace-produit, théorème de Fubini - Théorème de changement de variables - Transformation de Fourier dans L1 et L2, transformée de Fourier d'une mesure, théorèmes d'unicité et d'inversion, théorème de Plancherel Responsable du module: Valentine GENON-CATALOT MLM505 Algèbre et Géométrie 5 Algèbre et Géométrie 5 (MLM505) Objectifs: Les structures n'étant plus que très brièvement enseignées dans les deux années qui précèdent, ce cours présente les bases de la théorie des groupes. Il prépare aux épreuves du CAPES et à la poursuite d'études en master de mathématiques fondamentales. Compétences acquises: Capacité à manipuler des notions abstraites, à rédiger un raisonnement relativement complexe, et connaissance des groupes classiques. Programme: * Groupes, sous-groupes, sous-groupes distingués ; morphismes ; classes selon un sous-groupe, groupes quotients ; opération de groupes. * Exemples : 1. groupe d'entiers modulo n 2 . groupe de permutations 3. groupe linéaire 4. groupe orthogonal, unitaire Responsable du module: Thierry CABANAL-DUVILLARD MLM520 Probabilités 5 Probabilités 5 (MLM520) Objectifs: Ce cours complète l'initiation déjà réalisée et sera suffisant pour ceux qui s'orientent vers le CAPES ou un cursus à vocation professionalisante. Compétences acquises: Lois des vecteurs aléatoires à densité. Vecteurs gaussiens. Théorèmes limites utiles pour la Statistique. Programme: 1. Vecteurs aléatoires à densité * Lois * Fonctions de répartition * Changement de variables * Paramètres fondamentaux 2. Fonctions caractéristiques 3. Cas gaussien. 4. Approche élémentaire des théorèmes limites Responsable du module: Mireille CHALEYAT-MAUREL MLC580 Anglais III Anglais III (MLC580) Programme: Le cours a pour but de perfectionner l'apprentissage des 2 années précédentes en travaillant sur des exercices variés portant sur la compréhension de l'anglais écrit et oral. Les exercices seront basés sur des textes de type TOEIC (monde de l'entreprise). Une initiation à la rédaction de CV et de lettres de motivation sera également proposée. Responsable du module: BOURGEOIS Hélène 1 UE parmi MLA555 Biologie 5 Biologie 5 (MLA555) Objectifs: Ce cours retracera le développement historique de la théorie de l'évolution sous ses états successifs. Avec les connaissances acquises en génétique et en biologie moléculaire, cette théorie s'oriente vers une nouvelle approche appelée "Evo-Devo". Ce cours abordera les neurosciences en expliquant pas à pas le fonctionnement des neurones et les principes de la communication neuronale. Compétences acquises: Relier les connaissances acquises en génétique et en biologie cellulaire avec l'évolution du vivant. Connaître les équations qui régissent le potentiel de membrane des neurones et ses modifications et les bases anatomiques des neurones Programme: Neurophysiologie * Le neurone et la synapse * La membrane neuronale au repos et le potentiel d'action * Les neuromédiateurs * Quelques exemples pharmacologiques Évolution * La notion d'espèce et de spéciation * La diversité biologique * Les différentes théories de l'évolution (sélection naturelle, équilibres ponctués,...) Responsable du module: Dominique AUBERT-MARSON MLM523 Analyse de données Analyse de données (MLM523) Objectifs: Ce cours introduit les méthodes de base de l'analyse des données dans un cadre euclidien. Il en détaille les aspects théoriques et les illustre sur des exemples concrets. Compétences acquises: Capacité à traiter numériquement des données statistiques multivariées et à en interpréter les résultats. Programme: Régression simple et multivariée Classification Analyse en composantes principales Analyse des correspondances Responsable du module: Thierry CABANAL-DUVILLARD MLA575 Economie de l'incertain Economie de l'incertain (MLA575) Objectifs: Il s’agit de présenter les concepts de base de la décision dans le risque et d'en étudier certaines applications. Seront étudiés les principaux critères d'évaluation des situations risquées, puis le modèle d'espérance d'utilité. Les applications proposées sont : les choix de portefeuille sur les marchés financiers et les choix intertemporels des consommateurs. Une introduction aux principes d'assurance sera également présentée. Compétences acquises: Fondements de l'analyse des décisions en univers risqué. Programme: I. Introduction : notion de risque et d'incertitude, modélisation des situations risquées II. Les critères d'évaluations des situations risquées III. Le modèle d'espérance d'utilité IV. Les choix simples de portefeuille V. Les décisions de consommations intertemporelles en situation d'incertitude VI. Les grands principes de l'assurance Responsable du module: Johanna ETNER MLA576 Dynamique économique Croissance Dynamique économique Croissance (MLA576) Objectifs: Il s’agit d'étudier les facteurs (démographie, accumulation du capital, progrès technique...) et les propriétés (stabilité, équilibre...) de la croissance économique dans une perspective de moyen et long terme. Compétences acquises: Approfondissement de la macroéconomie dans une perspective dynamique. Compréhension de faits empiriques majeurs: trente glorieuses, ralentissement de la croissance, rattrapage des pays émergents, impact des TIC sur la croissance économique... Programme: Rappels de macroéconomie classique et keynésienneLe modèle de HarrodLe modèle de Bhaduri et Marglin (croissance et répartition du revenu)Le modèle de SolowSchumpeter et la "destruction créatrice"Aperçu sur les modèles de croissance endogèneL'école de la régulationAperçu sur les théories du changement institutionnel (D. North) Responsable du module: Olivier ALLAIN

L3 Semestre 6 (Parcours renforcé mathématiques de la modélisation)

MLM611 Calcul différentiel et équations différentielles Calcul différentiel et équations différentielles (MLM611) Objectifs: Dérivation par rapport à une variable évoluant dans un espace de dimension strictement supérieure à un (et même infinie). Démonstration des théorèmes fondamentaux de l'analyse: Accroissements finis, Inversion locale, Fonctions implicites, Cauchy-Lipschitz. Compétences acquises: Calcul de différentielles pour des variables dans un espace vectoriel normé. Théorèmes fondamentaux de l'analyse Programme: * Calcul différentiel : 1. Différentielles 2. Théorème des accroissements finis 3. Différentielles d'ordre supérieur 4. Formules de Taylor 5. Théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites. 6. Extrema * Équations différentielles : 1. Théorème de Cauchy-Lipschitz, solutions maximales 2. Théorème des bouts, théorème de Peano 3. Systèmes linéaires, résolvante Responsable du module: Mirelle CHALEYAT-MAUREL MLM604 Algèbre linéaire Algèbre linéaire (MLM604) Objectifs: Ce cours a pour objectif d'approfondir les résultats de seconde année. Pour l'algèbre linéaire, on cherche à établir une classification complète des matrices à coefficients réels et complexes. Pour l'algèbre bilinéaire, on apprendra à maitriser les notions d'espaces euclidiens et hermitiens ainsi que la réduction des formes bilinéaire et quadratiques, sesqui-linéaires et hermitiennes. Compétences acquises: Maîtrise des réductions de matrices (jordanisation, décompositions des matrices symétriques, hermitiennes, produits scalaires) Programme: *Rappels *Critères de diagonalisation, trigonalisation *Notions d'algèbre : groupes et anneaux. *Polynômes d'endomorphismes, minimaux et caractéristiques * Réduction de Jordan * Signature des formes quadratiques * Structure euclidienne * Structure hermitienne * Endomorphismes normaux * Aspects analytiques Responsable du module: Fabienne COMTE MLM613 Mesure et probabilités Mesure et probabilités (MLM613) Objectifs: Les objectifs de ce cours sont de mettre en place la notion d'espace de probabilité abstrait, de retrouver dans ce contexte les calculs déjà effectué dans le cours de Probabilités 5, puis d'utiliser la puissance de ces représentations pour étudier les espérances conditionnelles abstraites, ainsi que des premières notions de convergence de suites aléatoires. Compétences acquises: Maîtrise de la notion d'espace de probabilité abstrait, manipulation des variables aléatoires pour le calcul et la modélisation. Programme: 1. La probabilité comme mesure. 2. Variables aléatoires, loi d'une variable aléatoire. Théorèmes de Fubini et de changement de variables appliqués aux probabilités. 3. Variables aléatoires indépendantes. 4. Simulation d'une variable aléatoire. 5. Fonction caractéristique. 6. Vecteurs gaussiens. 7. Espérance conditionnelle, théorème de Radon-Nikodym. Application aux vecteurs gaussiens. 8. Convergence de suites de variables aléatoires : Borel-Cantelli, convergence en probabilité, presque-sûre, dans Lp, loi des grands nombres dans L1 et L2. Responsable du module: Fabienne COMTE MLM622 Statistique inférentielle Statistique inférentielle (MLM622) Objectifs: Le cours permet d'aborder les principaux aspects théoriques de la statistique inférentielle allant de la modélisation à la décision au moyen de tests et de se familiariser avec les aspects pratiques de cette discipline. Compétences acquises: L'étudiant acquerra une connaissance technique et un savoir-faire sur les modèles statistiques, les méthodes classiques d'estimation et de test. Programme: 1) Introduction aux problèmes statistiques. 2) Modèles statistiques. 3) Estimation. 4) Tests d'hypothèse (paramétriques et non paramétriques). Responsable du module: Frédéric RICHARD MLM619 Méthodes numériques Méthodes numériques (MLM619) Programme: Nous étudierons les techniques de résolution de quelques problèmes numériques selon trois points de vue : théorique, algorithmique, et programmation en Scilab. Les problèmes étudiés seront extraits des thématiques suivantes : 1. Équations et de systèmes d'équations 2. Analyse numérique matricielle 3. Équations différentielles 4. Optimisation Responsable du module: Georges KOEPFLER 3 UE parmi MLA655 Biologie 6 Biologie 6 (MLA655) Objectifs: Ce cours fait suite à celui de génétique classique en abordant les applications récentes de la génétique comme le séquençage des génomes, les tests génétiques, le clonage, l'utilisation des cellules souches tout en mettant l'accent sur les débats éthiques et sociaux qui entourent ces applications. Compétences acquises: Connaître la génomique fonctionnelle ainsi que l'actualité scientifique en matière de génétique. Connaître la technologie de l'ADN recombinant Programme: * La technologie de l'ADN recombinant * Biotechnologies * Thérapie cellulaire * Tests génétiques * Structure du génome humain et mutations * Cancer Responsable du module: Dominique AUBERT-MARSON MLM626 Introduction à la génomique MLI640 Bio-informatique Bio-informatique (MLI640) Objectifs: La bioinformatique est la branche de l'informatique appliquée à l’analyse des données biologique, en particulier les données issue de biologie moléculaire (gène, ARN, protéine..). Elle utilise des méthodes de calcul spécifiques et de puissants ordinateurs, indispensables pour traiter la masse de données propre au domaine de la génomique Compétences acquises: Introduction générale aux principales méthodes et données utilisées en bioinformatique. Méthodes d’analyse de données d’expression et application avec le logiciel R. Programme: · Rappels de biologie moléculaire · Information biologique · Alignement de séquences · Alignements multiples · Protéomique · Présentation des biopuces · Prétraitement · Analyse différentielle · Regroupement de profils d’expression · Prédiction à partir de données d’expression · Sélection de gènes · Evaluation de modèles Responsable du module: Hanczar Blaise MLA675 Economie internationale Economie internationale (MLA675) Objectifs: Il s’agit d’étudier les déterminants des échanges internationaux : pourquoi les pays échangent-ils des biens ou des actifs financiers et comment se spécialisent-ils dans ces échanges. Responsable du module: Bertrand MAXIMIN MLA676 Economie publique Economie publique (MLA676) Objectifs: L'économie publique étudie le rôle économique de l'État. On examine d'abord les raisons et les modalités de l'intervention de l'État dans l'économie (services collectifs, externalités, redistribution des revenus, stabilisation de la conjoncture), puis les processus de choix collectifs et enfin le financement des activités de l'État par la fiscalité. Compétences acquises: À l’issue du semestre, les étudiants sont aptes à comprendre les problèmes posés en économie publique et ils peuvent mobiliser des connaissances théoriques spécifiques pour proposer des solutions à ces problèmes. Programme: 1 L'économie mixte, entre économie de marché et économie publique; 2 Les raisons de l'intervention de l'Etat : défaillances du marché, redistribution et stabilisation de la conjoncture; 3 Les biens collectifs : faut-il que l'Etat se charge de construire les autoroutes et les aéroports ? 4 Les externalités : pollution et lutte contre la pollution; 5 les monopoles: quel est le rôle de l'Etat face aux monopoles naturels ? 6 Les choix collectifs : comment trouver une règle qui permette de prendre des décisions collectives qui représentent les préférences des individus? 7 Le financement des dépenses publiques: éléments de fiscalité et évaluation du système fiscal français en termes d'efficacité et de justice sociale. Responsable du module: Jérome LALLEMENT MLA679 Projet d'économie Projet d'économie (MLA679) MLM629 Stage en laboratoire (8 semaines)

 Candidature

Si vous êtes intéressés par ce parcours, candidater en ligne au parcours Mathématiques, applications et enseignement. La demande d’inscription à ce parcours renforcé pourra être faite ultérieurement lors de votre inscription pédagogique.Consulter les conditions de candidature en licence Mathématiques, Informatique