Modélisation et statistique pour la biologie

 Conditions d’accès

Le parcours MSB est accessible aux étudiants titulaires d’un Master 1ère année en Mathématiques ou Mathématiques appliquées (ou diplôme étranger de niveau équivalent, ou dernière année de Grande Ecole d’Ingénieur). Un bon niveau en probabilités et statistique est requis.

 Objectifs de la formation

L’objectif du parcours est de former des spécialistes en Probabilités, Statistique et Modélisation aléatoire et déterministe, en vue d’application aux Sciences du Vivant (Biologie, Santé, Médecine).

Plus précisément, le parcours assure une initiation à la recherche fondamentale en vue d’une thèse sur l’un des thèmes :

• Statistique mathématique et modélisation (statistique paramétrique ou non paramétrique, applications biostatistiques, contrôle des risques, survie, correction de censure, variations géographiques, propagation d’épidémies...)

• Probabilités et applications aux sciences du vivant (Champs aléatoires pour la modélisation de milieux 3D, milieux poreux, transformées de Radon pour l’analyse de champs anisotropes et modélisation du procédé de radiographie, ...).

• Modèles stochastiques en biologie (Equations différentielles stochastiques, application aux modèles neuronaux, génétiques, pharmacocinétiques, modèles mixtes, ...)

• Modélisation déterministe en science du vivant (systèmes d’équations aux dérivées partielles, méthodes variationnelles, modélisation myocardique, déformations cellulaires, circulation artérielle, ...)

La thèse éventuelle pourra se dérouler au sein de laboratoires universitaires de Mathématiques appliquées, d’Unités INSERM, à l’INRA, au CEA, dans des unités de recherche des hôpitaux, ou des cellules de recherche en entreprise (Industrie ou services). Le parcours propose également des débouchés professionnels, par le biais de stages dans :

• des entreprises telles que Danone, l’Oréal,

• des Laboratoires pharmaceutiques (GlaxoSmithKline, Sanofi Aventis,...) ,

• des instituts tels que l’Institut de Veille Sanitaire (InVS), l’Agence Française de Sécurité Sanitaire des Aliments (AFSSA) ...,

• des sociétés de biotechnologie.

La formation fournit des bases générales permettant des stages dans des domaines autres que les Sciences du Vivant (Instituts de sondage, cellules d’études statistiques...).

Intervenants. Les intervenants sont des enseignants chercheurs de l’UFR de Mathématique et Informatique et de l’UFR Biomédicale, membres du Laboratoire MAP5 (UMR Cnrs 8145), des chercheurs de l’INRA, de l’Institut de radioprotection et de sûreté nucléaire (IRSN).

 Le programme des deux années

M1 Semestre 1 (Mathématiques appliquées)

UE Analyse et probabilités MA111 Analyse fonctionnelle Analyse fonctionnelle (MA111) MA112 Analyse de Fourier Analyse de Fourier (MA112) Objectifs: L'analyse de Fourier et ses prolongements (ondelettes, analyse harmonique, ...) jouent un rôle central dans beaucoup de problèmes de mathématiques appliquées (équations différentielles et équations aux dérivées partielles, analyse numérique, convolution, traitement du signal et de l'image, etc). L'objectif de ce cours est de donner des bases mathématiques solides dans ce domaine. Compétences acquises: Transformations de Fourier continue et discrète. Applications de la transformée de Fourier. Programme: * Rappels sur les séries de Fourier * Transformée de Fourier dans L1, propriétés, calculs. Liens avec la convolution. * Formule d'inversion. Impact de la régularité d'une fonction sur sa transformée de Fourier. * Transformée de Fourier dans L2: construction, propriétés, exemples. * Espace de Schwartz et transformée de Fourier. Stabilité. Propriétés de densité. * Transformée de Fourier discrète, transformée de Fourier rapide. Lien entre séries de Fourier, transformée de Fourier, et transformée de Fourier discrète. Applications. Responsable du module: Lionel MOISAN MA121 Probabilités avancées Probabilités avancées (MA121) Objectifs: Initiation aux processus en temps discret. Compréhension de l'espérance conditionnelle. Martingales à temps discret et les théorèmes de convergence associés. Compétences acquises: Espérance conditionnelle, martingale en temps discret Programme: Définition de l'espérance conditionnelle générale Tribus, temps d'arrêt Martingales à temps discret Inégalités (maximale, Doob,...). Convergence presque sûre des martingales Convergence dans L^p Responsable du module: Mireille CHALEYAT-MAUREL UE Modélisation MA113 Modélisation mathématique MA114 EDP : Introduction EDP : Introduction (MA114) Objectifs: Ce module se concentre sur certains modèles mathématiques issus de la physique ou de la biologie, accessibles avec des outils mathématiques élémentaires. Sur des exemples très simples, on peut mettre en évidence la nécessité d'introduire des solutions non continues. Compétences acquises: modélisation élémentaire par équations aux dérivées partielles Programme: Equations de transport linéaires en dimension d'espace 1. Notions sur le cas multi-dimensionnel. Equations hyperboliques non linéaires en dimension d'espace 1. Cas particulier de l'équation de Burgers. Droites caractéristiques. Solutions fortes. Solutions faibles. Lignes de choc. Condition de Rankine-Hugoniot. Problème de Riemann. Solution entropique. Introduction aux schémas de résolution numérique. Equation des ondes linéaire. Responsable du module: Annie RAOULT MA115 Optimisation, algorithmique Optimisation, algorithmique (MA115) Objectifs: Introduire les méthodes fondamentales de minimisation sans contraintes sur des fonctions régulières dépendant de beaucoup de variables. On s'efforcera à étudier et comparer les résultats mathématiques de convergence, ainsi que la complexité des algorithmes. Les travaux pratiques permettront de s'exercer à l'implémentation d'algorithmes et de mieux comprendre les résultats théoriques. Compétences acquises: L'étudiant(e) apprend les notions fondamentales d'optimisation. Ces bases devront lui permettre d'aborder une grande partie des méthodes existantes afin de les adapter et appliquer à un problème donné. Programme: Rappels et compléments d'algèbre linéaire numérique : - factorisation LU et Cholesky pour systèmes linéaires ; - décomposition en valeurs singulières ; - résolution de systèmes au sens des moindres carrées ; Algorithmes de minimisation sans contrainte : - méthodes de descente, vitesse de convergence, minimisation en 1D ; - cas particuliers : méthode de descente du gradient, méthode de Newton et quasi-Newton, méthode du gradient conjugué, méthode de Gauss-Newton, méthode de Levenberg-Marquardt, Les algorithmes seront programmées et testées en travaux pratiques sur machine avec Scilab. Responsable du module: Georges KOEPFLER MA106 Logiciels mathématiques Logiciels mathématiques (MA106) MA159 Anglais

M1 Semestre 2 (Mathématiques appliquées)

UE Approfondissement MA217 Distributions et théorie de l'échantillonnage Distributions et théorie de l'échantillonnage (MA217) Programme: Introduction à la théorie des distributions. Transformée de Fourier d'une distribution tempérée et convolution. Transformée de Laplace des distributions. Séries de Fourier de distributions périodiques. Echantillonnage (théorème de Shannon-Nyquist). Responsable du module: Annie RAOULT MA214 EDP : Approfondissement EDP : Approfondissement (MA214) Objectifs: Présenter et étudier les équations aux dérivées partielles utilisées dans la modélisation déterministe en médecine, biologie, mécanique, physique. On fera l'étude des propriétés des équations et de leurs solutions au sens classique avant d'introduire la notion de solution faible. On abordera le problème de la résolution numérique à travers les schémas aux différences finies et la méthode des éléments finis. Compétences acquises: L'étudiant suit le chemin depuis la modélisation jusqu'à la résolution numérique sur des exemples standards d'e.d.p. Ceci lui permet de s'approprier les bases des techniques modernes de modélisation par e.d.p. Programme: Rappels et compléments d'analyse vectorielle. Modélisation de phénomènes de diffusion et équations d'advection-réaction-diffusion. Schémas aux différences finies : consistance et stabilité. Équations aux dérivées partielles linéaires elliptiques d'ordre 2. Exemples classiques et formulation variationnelle. Introduction aux espaces de Sobolev. Méthode des éléments finis. Responsable du module: Georges KOEPFLER MA215 Optimisation avancée MA231 Statistique mathématique Statistique mathématique (MA231) Objectifs: Ce cours vise à introduire les méthodes de construction d'estimateurs dans des modèles paramétriques, et à faire acquérir aux étudiants la maîtrise des outils mathématiques qui permettent d'étudier leur performance. Compétences acquises: Modèles et estimation en contexte paramétrique, optimalité des estimateurs. Programme: - Introduction : Modèle, échantillon, paramètre. - Comparaison d'estimateurs: fonctions de perte, de risuqe, estimateurs admissibles, consistance, vitesse de convergence. - Lois empiriques et quantiles : répartition, quantiles et moments empiriques et résultats de convergence. - Méthodes de construction d'estimateurs : méthodes de substitution, maximum de vraisemblance. - Notion d'intervalles de confiance, et exemples. - Régression linéaire et méthode des moindres carrés. - Statitistiques exhaustives, complètes. - Modèles régulier, Information de fisher, Inégalité de l'Information (Cramer-Rao). Responsable du module: Valentine GENON-CATALOT / Fabienne COMTE MA232 Statistique asymptotique Statistique asymptotique (MA232) Programme: Tests uniformément plus puissants, d'hypothèses simples, unilatères ou bilatères. Théorèmes limites en statistique. Responsable du module: Jean-Claude FORT Une spécialité à choisir UE Processus aléatoire IM222 Processus de Markov Processus de Markov (IM222) Objectifs: L'objectif du cours est de présenter les processus de Markov à temps et espace d'états discrets (chaînes de Markov): il s'agit de suites de variables aléatoires discrètes décrivant l'état d'un système évoluant de façon aléatoire au cours du temps avec la propriété que la loi du futur connaissant le passé du processus dépend uniquement de l'état présent (proriété de Markov). Ces processus sont très utilisés comme modèles stochastiques en biologie, fiabilité et finances. Compétences acquises: Comprendre la proprité de Markov (faible), étudier des exemples concrets, savoir effectuer la classification des états et calculer les lois stationnaires. Programme: > Chaînes de Markov à temps discret et à espace d'états discret: - définition d'une chaîne de Markov (proprité de Markov), loi initiale, matrice de transition, proprité de Markov faible (2 séances) - Chaîne de Markov canonique, lois marginales, lois stationnaires (2-3 séances). - Communication entre points, classification des états (3-4 séances) - Probabilités et temps d'absorption (2 séances) - Théorèmes limites (1-2 séances, pas de démonstrations des théorèmes) Responsable du module: Valentine GENON-CATALOT IM221 Processus du second ordre Processus du second ordre (IM221) Objectifs: L'objet de ce cours est d'introduire les notions élémentaires sur les processus du second ordre pour aborder la notion de filtrage de processus et l'étude des séries temporelles. L'accent est mis sur les notions de dépendence et de prévision dans le cadre des processus stationnaires. Compétences acquises: Analyse spectrale des processus du second ordre et introduction aux séries temporelles Programme: S1: Processus du second ordre S2:TD S3: Processus gaussiens et prévision S4:TD S5:Processus stationnaires S6:TD S7: Analyse spectrale des processus stationnaires S8:TD S9:Filtrage des processus stationnaires S10:TD S11: Séries temporelles MA, AR et ARMA S12:TD Responsable du module: Hermine BIERME UE Signal et image MA273 Théorie de l'information Théorie de l'information (MA273) Objectifs: La théorie de l'information, inventée par Shannon en 1948, est non seulement à la base de toutes les communications numériques actuelles, mais séduit aussi par sa portée mathématique, physique, et philosophique qui va bien au-delà. L'objectif de ce cours est de comprendre les concepts fondamentaux de la théorie de l'information, à commencer par la notion d'entropie. Compétences acquises: Notions élementaires de théorie de l'information: entropie, codage. Principes de la communication à travers un canal bruité. Programme: * Arbres de décision et entropie algébrique. * Entropie probabiliste. Propriétés. * Entropie conditionnelle. Information mutuelle. Distance de Kullback. * Propriété d'équirépartition asymptotique. Suites typiques. * Codage: codes réguliers, déchiffrables, complets, codes de préfixe. * Inégalité de Kraft. Premier théorème de Shannon. * Codage de Huffman, optimalité. Lien entre codage et détermination de stratégies optimales. * Taux d'entropie de sources avec mémoire. Codage Lempel-Ziv. * Communication à travers un canal bruité. Deuxième théorème de Shannon. Example du code de Hamming 7,4. *** Responsable du module: Lionel MOISAN MA272 Bases mathématiques du traitement d'image Bases mathématiques du traitement d'image (MA272) Programme: Ce cours a pour but, à partir de problèmes inverses classiques en traitement d'images (restauration, segmentation) et en s'appuyant sur des applications bio-médicales, de présenter des techniques de mathématiques appliquées qui permettent de donner une réponse à ces problèmes : Approches linéaires (transformée de Fourier, en ondelettes), Approches géométriques (morphologie mathématique, EDP, contours actifs), Approches stochastiques (méthodes bayesiennes, champs markoviens...). Des chaînes de traitement utilisant plusieurs de ces approches successivement seront aussi présentées. Responsable du module: Christine GRAFFIGNE Ouverture : 1 UE pouvant être choisie parmi IF271 Traitement des signaux sonores Traitement des signaux sonores (IF271) Objectifs: Connaître plusieurs aspects du traitement du son ; maîtriser les outils de traitement du signal utilisés en traitement du son ; savoir programmer un traitement en langage de simulation (scilab) Compétences acquises: Maîtrise de divers concepts liés aux signaux sonores et des outils de traitement du signal correspondant ; programmation en traitement du son. Programme: - Perception auditive : fonctionnement de l'oreille, champ audible, bandes critiques, force sonore, hauteur, timbre, masquage fréquentiel, masquage temporel - Signaux aléatoires - Échantillonnage - Quantifications scalaire uniforme, optimale, vectorielle - Filtrage numérique et applications audio : débruitage, annulation d'écho - Codage audio : quantification, codage entropique, bancs de filtres, modèles psychoacoustiques, codeurs perceptifs (MPEG) - Tatouage audio : histoire, applications, contraintes, techniques - Voix : production, analyse, modélisation AR, codage paramétrique IM223 Modèles aléatoires en vue de la biologie

M2 Semestre 3 (Mathématiques appliquées : modélisation et statistique pour la biologie)

UE Bases : 3 ECU à choisir parmi SB328 Mouvement brownien et calcul stochastique Mouvement brownien et calcul stochastique (SB328) SB327 Équations diff stochastiques en bio Équations diff stochastiques en bio (SB327) SB312 Modélisation déterministe en sciences du vivant Modélisation déterministe en sciences du vivant (SB312) IM331 Statistique non paramétrique Statistique non paramétrique (IM331) Objectifs: L'objectif de ce cours est de présenter aux étudiants différentes méthodes d'estimation fonctionnelle. Ces méthodes peuvent être utilisées de façon autonomes ou bien afin de permettre de choisir un modèles paramétrique plus simple et plus facil à présenter à des professionnels ou des médecins. Compétences acquises: Méthodes de noyau avec sélection de fenêtre pour l'estimation fonctionnelle, méthodes de projection adaptatives. Programme: I. Rappels de statistique paramétrique, estimateur, risque quadratique II. Méthode de noyau pour l'estimation de la densité. 1) Définition, example 2) Risque ponctuel, compromis biais-varaiance, selection de fenêtre 3) Risque quadratique intégré 4) Cross validation III. Méthodes de projection pour l'estimation de la densité. 1) Bases et espaces de projection (polynôme trigonométrqies, polynômes par morceaux, ondelettes) 2) Construction de l'estimateur, contraste 3) Risque quadratique intégré et compromis biais-variance 4) Sélection de modèle par pénalisation. IV. Généralisation à l'estimation non paramétrique de la fonction de régression. V. Méthodes non paramétrique en survie: estimation du hasard en présence de censure. Responsable du module: Fabienne COMTE UE Applications SB387 Champs aléatoires SV Champs aléatoires SV (SB387) Programme: 1. Généralités (a) Loi d’un champ aléatoire (th. de Kolmogorov) (b) Exemples classiques (en dim 1 : processus de Poisson et mvt brownien ; en dim d : champs gaussiens, processus de Poisson ponctuel) (c) Stationnarité et représentation spectrale (th. de Bochner) 2. Modèles continus (a) Régularité (th. de Kolmogorov encore !) (b) Autosimilarité (c) Dimension fractale (d) Exemples d’application 3. Modèles discrets (a) Modèles germe-grain booléens (b) Microboules et homogénéisation (c) Champs gaussiens seuillés (d) Exemples d’application Responsable du module: Anne ESTRADE 2 ECUE à choisir parmi IM313 Propagation d'épidémie Propagation d'épidémie (IM313) IM335 Variations géographiques Variations géographiques (IM335) IM334 Durée de survie Durée de survie (IM334) Objectifs: Les objectifs de ce cours sont d'analyser des données issues d’une étude de survie, de savoir interpréter les résultats et de savoir discuter les hypothèses des différents modèles. Dans un premier temps, la modélisation des durées de survie via des approches non paramétriques ou paramétriques sera étudiée. Dans un second temps, l'ajustement sur des covariables sera considéré via des modèles de régression (paramétriques ou semi-paramétriques) comme le modèle de Weibull et le modèle de Cox. Compétences acquises: L'étudiant sera capable de formuler un modèle susceptible de convenir à ses données, de comparer les survies observées sur plusieurs groupes et de mettre en place des modèles de régression . Un accent particulier est mis sur l’interprétation des résultats et la mise en pratique via le logiciel R de tels modèles. Programme: - Généralités, Fonctions de survie, Relation entre les diverses fonctions de survie Censure à droite, troncature à gauche - Estimation nonparamétrique des quantités de base (l'estimateur de Kaplan-Meier de la fonction de survie, l'estimateur de Nelson-Aalen de la fonction de hasard cumulée,...) - Modèles paramétriques courants en analyse de survie - Tests d'hypothèse concernant l'égalité de deux ou plusieurs courbes de survie - Modèles de régressions paramétriques - Estimations, Tests. - Modèles à hasards proportionnels - Modèle de Cox, Vraisemblance conditionnelle de Cox, - Estimations et tests - Analyse des résidus, modèle stratifié Responsable du module: C. GUIHENNEUC - JOUYAUX / ML TAUPIN IM332 Modèle linéaire généralisé UE Compléments SB330 Algorithmique Statistique Algorithmique Statistique (SB330) 2 ECUE à choisir parmi IM333 Epidémiologie approfondissement Epidémiologie approfondissement (IM333) Responsable du module: Antoine CHAMBAZ IM386 Biologie diversité du vivant Biologie diversité du vivant (IM386) Objectifs: Connaître les nouvelles technologies utilisées en biologie moléculaire et les nouvelles données en biologie évolutive. Compétences acquises: Acquisition de fondamentaux en biologie moléculaire et évolutive, analyse d’articles scientifiques Programme: -Synthése des théories évolutionnistes -Organisation du génome des eucaryotes -Biotechnologies : protéines recombinantes, transgénèse, anticorps monoclonaux… - Les origines de la vie et de l'homme. Responsable du module: Dominique AUBERT-MARSON SB336 Statistique des diffusions Statistique des diffusions (SB336) SB329 Introduction théorie du filtrage Introduction théorie du filtrage (SB329)

M2 Semestre 4 (Mathématiques appliquées : modélisation et statistique pour la biologie)

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