Matrice de passage.

Soit $E$ un espace de dimension $n$ et de base $(\vec b_1,\ldots,\vec b_n)$, et $\vec x$ un vecteur de $E$. Le vecteur $\vec x$ admet une unique décomposition

$${\vec x=x_1\cdot\vec b_1+\cdots +x_n\cdot\vec x_n}$$

avec $x_1,\ldots,x_n\in\mathrm{K}$. On appelle matrice des composantes de $\vec x$ dans la base $(\vec b_1,\ldots,\vec b_n)$ la matrice colonne

$${X=\left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}\right).}$$

Soit alors une autre base de $E\,:\ (\vec f_1,\ldots,\vec f_n)$. On peut se demander comment s'exprime $\vec x$ dans cette nouvelle base. Tout vecteur $\vec f_j$, $(1\le j\le n)$ dans la base $(\vec b_i,\ 1\le i\le n)$:

$${\vec f_j=\sum_{i=1}^np_{ij}\vec b_i.}$$

Définition :

La matrice $P=(p_{ij})_{1\le i,j\le n}$ est appelée matrice de passage de la base $(\vec b_1,\ldots,\vec b_n)$ à la base $(\vec f_1,\ldots,\vec f_n)$ et est notée dans ce cours

$${P_{(\vec b_i)\rightarrow (\vec f_i)}.}$$

Théorème :

Soit un vecteur $\vec x$ de matrice des composantes $X_b$ dans la base $(\vec b_1,\ldots,\vec b_n)$ et $X_f$ dans la base $(\vec f_1,\ldots,\vec f_n)$. Cela signifie que, si

$${X_b=\left(\begin{array}{c} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{array}\right)\qquad X_f=\left(\begin{array}{c} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{array}\right)}$$

alors

$${\vec x=\sum_{i=1}^nx_i\cdot\vec b_i=\sum_{i=1}^ny_i\cdot\vec f_i.}$$

Alors,

$${X_b=P_{(\vec b_i)\rightarrow (\vec f_i)}X_f.}$$

Démonstration

Corollaire :

Toute matrice de passage $P_{(\vec b_i)\rightarrow (\vec f_i)}$ est inversible et

$${\left(P_{(\vec b_i)\rightarrow (\vec f_i)}\right)^{-1}=P_{(\vec f_i)\rightarrow (\vec b_i)}.}$$

Démonstration

Exemple: On se place dans un espace vectoriel $E$ de base $(\vec b_1,\vec b_2,\vec b_3)$. On pourra vérifier que les vecteurs
$\vec f_1=\vec b_1+\vec b_3,\quad\vec f_2=2\vec b_1\quad\vec f_3=-\vec b_1+\vec b_2+2\vec b_3$ forment une base de $E$. On trouve alors

$${\vec b_1=\frac{1}{2}\vec f_2,\quad \vec b_2=-2\vec f_1+\frac{3}{2}\vec f_2+\vec f_3,\quad \vec b_3=\vec f_1-\frac{1}{2}\vec f_2.}$$

On a donc

$${P_{(\vec b_i)\to(\vec f_i)}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right)}$$

et

$${P_{(\vec f_i)\to(\vec b_i)}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -2 & 1\\ \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right).}$$

Ces matrices sont inverses l'une de l'autre.

Soit maintenant $\vec x =6\vec b_1+\vec b_2+3\vec b_3 =\vec f_1+3\vec f_2+\vec f_3$ On a :

$${\left(\begin{array}{c} 6\\ 1\\ 3 \end{array}\right)=\left(\beg... ...& 0 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1\\ 3\\ 1 \end{array}\right)}$$

et que

$${\left(\begin{array}{c} 1\\ 3\\ 1 \end{array}\right)=\left(\beg... ... & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 6\\ 1 \\ 3 \end{array}\right).}$$