Matrice de passage.

Soit $ E$ un espace de dimension $ n$ et de base $ (\vec b_1,\ldots,\vec
b_n)$, et $ \vec x$ un vecteur de $ E$. Le vecteur $ \vec x$ admet une unique décomposition

$ \displaystyle{\vec x=x_1\cdot\vec b_1+\cdots +x_n\cdot\vec x_n}$
avec $ x_1,\ldots,x_n\in\mathrm{K}$. On appelle matrice des composantes de $ \vec x$ dans la base $ (\vec b_1,\ldots,\vec
b_n)$ la matrice colonne
$ \displaystyle{X=\left(\begin{array}{c}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{array}\right).}$
Soit alors une autre base de $ E\,:\ (\vec f_1,\ldots,\vec f_n)$. On peut se demander comment s'exprime $ \vec x$ dans cette nouvelle base. Tout vecteur $ \vec f_j$, $ (1\le j\le n)$ dans la base $ (\vec b_i,\ 1\le i\le n)$:
$ \displaystyle{\vec f_j=\sum_{i=1}^np_{ij}\vec b_i.}$

Définition :
La matrice $ P=(p_{ij})_{1\le i,j\le n}$ est appelée matrice de passage de la base $ (\vec b_1,\ldots,\vec
b_n)$ à la base $ (\vec
f_1,\ldots,\vec f_n)$ et est notée dans ce cours
$ \displaystyle{P_{(\vec b_i)\rightarrow (\vec f_i)}.}$

Théorème :
Soit un vecteur $ \vec x$ de matrice des composantes $ X_b$ dans la base $ (\vec b_1,\ldots,\vec
b_n)$ et $ X_f$ dans la base $ (\vec
f_1,\ldots,\vec f_n)$. Cela signifie que, si
$ \displaystyle{X_b=\left(\begin{array}{c}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{array}\right)\qquad X_f=\left(\begin{array}{c}
y_1\\
\vdots\\
y_n
\end{array}\right)}$
alors
$ \displaystyle{\vec x=\sum_{i=1}^nx_i\cdot\vec b_i=\sum_{i=1}^ny_i\cdot\vec f_i.}$
Alors,
$ \displaystyle{X_b=P_{(\vec b_i)\rightarrow (\vec f_i)}X_f.}$

Démonstration

Corollaire :
Toute matrice de passage $ P_{(\vec b_i)\rightarrow (\vec f_i)}$ est inversible et
$ \displaystyle{\left(P_{(\vec b_i)\rightarrow (\vec f_i)}\right)^{-1}=P_{(\vec f_i)\rightarrow (\vec b_i)}.}$

Démonstration

Exemple: On se place dans un espace vectoriel $ E$ de base $ (\vec b_1,\vec b_2,\vec b_3)$. On pourra vérifier que les vecteurs
$ \vec f_1=\vec b_1+\vec b_3,\quad\vec f_2=2\vec b_1\quad\vec f_3=-\vec
b_1+\vec b_2+2\vec b_3$ forment une base de $ E$. On trouve alors

$ \displaystyle{\vec b_1=\frac{1}{2}\vec f_2,\quad \vec b_2=-2\vec
f_1+\frac{3}{2}\vec f_2+\vec f_3,\quad \vec b_3=\vec
f_1-\frac{1}{2}\vec f_2.}$
On a donc
$ \displaystyle{P_{(\vec b_i)\to(\vec f_i)}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -1\\
0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 2
\end{array}\right)}$
et
$ \displaystyle{P_{(\vec f_i)\to(\vec b_i)}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & -2 & 1\\
\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2}\\
0 & 1 & 0
\end{array}\right).}$
Ces matrices sont inverses l'une de l'autre.

Soit maintenant $ \vec x =6\vec b_1+\vec b_2+3\vec b_3
=\vec f_1+3\vec f_2+\vec f_3$ On a :

$ \displaystyle{\left(\begin{array}{c}
6\\
1\\
3
\end{array}\right)=\left(\beg...
...& 0 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
1\\
3\\ 1
\end{array}\right)}$
et que
$ \displaystyle{\left(\begin{array}{c}
1\\
3\\
1
\end{array}\right)=\left(\beg...
... & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
6\\
1 \\
3
\end{array}\right).}$



Christine Graffigne, Avner Bar-Hen