Formule de Leibniz

Proposition (formule de Leibniz) :

Soit $p\in{\mathbb{N}}$. Si $f$ et $g$ sont de classe ${\cal C}^p$ sur $I$, alors pour tout $x\in I$,

$$(fg)^{(p)}(x)=\sum_{k=0}^p \left(\begin{tabular}{c}{p} \\ {k}\end{tabular}\right) f^{(k)}(x)g^{(p-k)}(x)$$

Exemple : Calculer la dérivée $n$-ième de $h(x)=x^2(1+x)^n$.

Démonstration