Plan général d'étude d'une fonction.

Définition :
Un sous-ensemble $ W$ de $ {\mathbb{R}}$ est dit symétrique par rapport à $ \alpha\in{\mathbb{R}}$ si

$\displaystyle \alpha+x\in W \Longrightarrow \alpha-x\in W $

Définition :
Une fonction numérique $ f$ est dite paire si $ {\cal D}_f$ est symétrique par rapport à 0 et si

$\displaystyle \forall x\in{\cal D}_f, f(-x)=f(x).$

Une fonction numérique $ f$ est dite impaire si $ {\cal D}_f$ est symétrique par rapport à 0 et si

$\displaystyle \forall x\in{\cal D}_f, f(-x)=-f(x).$

Exemples : $ f(x)=x^2$ est paire, $ g(x)=x^3$ est impaire, $ h(x)=\cos(x)$ est paire, $ u(x)=\sin(x)$ est impaire.

Définition :
Le graphe d'une fonction numérique $ f$ est dit symétrique par rapport à la droite $ x=\alpha$ si $ {\cal D}_f$ est symétrique par rapport à $ \alpha$ et si

$\displaystyle \forall x\in{\cal D}_f, f(\alpha-x)=f(\alpha+x).$

On dit aussi que $ x=\alpha$ est un axe de symétrie pour le graphe de $ f$.

Le graphe d'une fonction numérique $ f$ est dit symétrique par rapport au point $ (\alpha,0)$ si $ {\cal D}_f$ est symétrique par rapport à $ \alpha$ et si

$\displaystyle \forall x\in{\cal D}_f, f(\alpha-x)=-f(\alpha+x).$

On dit aussi que $ (\alpha,0)$ est un point de symétrie pour le graphe de $ f$.

Remarque : Si $ f$ est paire, le graphe de $ f$ est symétrique par rapport à la droite $ x=0$. Si $ f$ est impaire, le graphe de $ f$ est symétrique par rapport au point $ (0,0)$.

Définition :
Soit $ T\in{\mathbb{R}}^{+*}$. Une fonction numérique $ f$ est dite périodique, de période $ T$ si $ {\cal D}_f={\mathbb{R}}$ et si

$\displaystyle \forall x\in{\mathbb{R}}, f(x+T)=f(x).$

Remarque : Si $ f$ est périodique de période $ T$, il suffit de définir $ f$ sur $ [0,T]$ pour connaître $ f$ sur $ {\mathbb{R}}$

Exemples : $ f(x)=\sin(x)$ est périodique de période $ 2\pi$. $ f(x)=\cos(2x)$ est périodique de période $ \pi$. $ g(x)=x-\lfloor x\rfloor $ est périodique de période $ 1$.

Définition :
Une fonction $ f$ admet une asymptote verticale en $ a\in{\mathbb{R}}$ si $ {\cal D}_f$ contient un intervalle du type $ ]a-\epsilon,a[$ ou $ ]a,a+\epsilon[$ et si $ \lim_{x\to a-} f(x)=\pm\infty$ ou si $ \lim_{x\to a+} f(x)=\pm\infty$.

Définition :
Soient $ a$ et $ b$ deux réels. Une fonction $ f$ admet pour asymptote la droite $ y=ax+b$ si $ {\cal D}_f$ contient $ ]a,+\infty[$ ou $ ]-\infty,a[$ et si

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)-ax=b \hbox{ ou }
\lim_{x\to -\infty} f(x)-ax=b.$

Remarque : Pour obtenir les valeurs de $ a$ et $ b$, on calcule successivement

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=a \hbox{ puis }
\lim_{x\to +\infty} f(x)-ax=b.$

ou

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{x}=a \hbox{ puis }
\lim_{x\to -\infty} f(x)-ax=b.$

Définition :
Une fonction $ f$ admet une branche parabolique de direction Oy si $ {\cal D}_f$ contient $ ]a,+\infty[$ ou $ ]-\infty,a[$ et si

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=\pm\infty
\hbox{ ou si } \lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{x}=\pm\infty$

Etude d'une fonction :

  1. Ensemble de définition.
  2. Réduction de l'intervalle d'étude : recherche de périodicité, de symétries.
  3. Calcul de la dérivée, détermination de son signe.
  4. Construction du tableau de variation.
  5. Détermination des limites.
  6. Recherche des asymptotes.
  7. Recherche des branches paraboliques.

Exemple : $ f(x)=x^2\arctan(1/(x+1))$ est définie sur $ {\mathbb{R}}-\{-1\}$. On a

$\displaystyle f'(x)=2 x\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)+x^2 \frac{\frac{-1}{(1+x)^2}}{1+
\left( \frac{1}{1+x}\right)^2}$

$\displaystyle f'(x)=2 x\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)- \frac{x^2}{(1+x)^2+1}$

$\displaystyle g(x)=\frac{f'(x)}{x}=2 \hbox{arctan}\left(\frac{1}{x+1}\right)-
\frac{x}{x^2+2x+2}$

que l'on dérive de nouveau pour déterminer son signe :

$\displaystyle g'(x)=2 \frac{\frac{-1}{(1+x)^2}}{1+\left( \frac{1}{1+x}\right)^2} -
\frac{x^2+2x+2 - x(2x+2)}{(x^2+2x+2)^2}$

$\displaystyle g'(x)= \frac{-2}{x^2+2x+2} - \frac{-x^2+2}{(x^2+2x+2)^2}
= \frac{-2(x^2+2x+2)- (-x^2+2)}{(x^2+2x+2)^2}$

$\displaystyle g'(x)=\displaystyle{\frac{-x^2-4x-6}{(x^2+2x+2)^2}}<0.$

Le polynôme $ P(x)=-x^2-4x-6$ n'a pas de racine réelle puisque $ \Delta'=4-6=-2$. Donc le signe de $ P(x)$ est celui du coefficient dominant, c'est-à-dire $ P(x)<0$ pour tout $ x\in{\mathbb{R}}$.

Donc $ g$ est strictement décroissante, définie sur $ {\mathbb{R}}-\{-1\}$. De plus $ \lim_{x\to -\infty} g(x)=0$ et $ \lim_{x\to +\infty} g(x)=0$ donc $ g$ est négative sur $ ]-\infty,-1[$ et positive sur $ ]-1,+\infty[$.

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to +\infty} x^2\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right)=\lim_{y\to +\infty} (y-1)^2\arctan\left(\frac{1}{y}\right)$

$\displaystyle =\lim_{u\to 0+} (\frac{1}{u}-1)^2\arctan(u)=\lim_{u\to 0+}
\frac{(1-u)^2}{u^2}\arctan(u)$

Or

$\displaystyle \lim_{u\to 0} \frac{\arctan(u)-0}{u-0}=1$

car la dérivée de $ \arctan(u)$ est $ 1/(1+u^2)$. Donc

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty.$

Et en reprenant le même calcul,

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=\lim_{u\to 0+}
\frac{(1-u)}{u}\arctan(u)=1$

On verra plus tard un moyen simple pour calculer $ \lim_{x\to +\infty} f(x)-x$.



Christine Graffigne, Avner Bar-Hen