Université René Descartes

Maitrise M.A.S.S (Mathématiques financières)

Examen (28 Mai 2001)

Corrigé
  1. On a $ H_n=\frac{1}{{(1+r)}^{N-n}}\textbf{E*}[S_N\vee k\vert {\cal F}_n]\geq {(1+r)}^n\textbf{E*}[\tilde{S}_N \vert {\cal F}_n ]={(1+r)}^n\tilde{S}_n=S_n$ .D'autre part ,
    $ H_n\geq \frac{k}{{(1+r)}^{N-n}}$ , cette dernière quantité représentant la valeur actualisée du prix plancher
    à l'instant $ n$
  2. On peut écrire

    $\displaystyle {(1+r)}^{N-n}H_n=\textbf{E*}[S_N\vee k\vert{\cal F}_n]=\textbf{E*}[S_nT_{n+1}\cdots T_N\vee k\vert{\cal F}_n] =u(n,S_n) $

    quand on a posé $ u(n,s)=\textbf{E*}[sT_{n+1}\cdots T_N\vee k]$ .

    On peut calculer explicitement $ u$ à l'aide d'un lemme du cours : on a

    \begin{displaymath}u(n,s)=\sum_{j=0}^{N-n} \left( \begin{array}{c} N-n\\ j \en... ...ray}\right) p^j{(1-p)}^{N-n-j}[s{(1+a)}^j{(1+b)}^{N-n-j}\vee k]\end{displaymath}

    d'où

    \begin{displaymath}H_n=\frac{1}{{(1+r)}^{N-n}}\sum_{j=0}^{N-n} \left( \begin{arr... ...}\right) p^j{(1-p)}^{N-n-j}[S_n{(1+a)}^j{(1+b)}^{N-n-j}\vee k] \end{displaymath}

  3. Pour $ k=0$ , la formule précédente s'écrit

    $\displaystyle H_n=\frac{S_n}{{(1+r)}^{N-n}}{[p(1+a)+(1-p)(1+b)]}^{N-n}$

    mais comme la quantité entre crochets est égale à $ 1+r$ , on obtient $ H_n=S_n$ , ce qui , bien entendu , était prévisible sans calculs .
  4. Appelons $ \Phi =(\phi_0 , \phi)$ un portefeuille autofinancé simulant $ h$ . On a alors

    $\displaystyle H_n=u(n,S_n)=V_n(\Phi)=\phi_n^0{(1+r)}^n+\phi _nS_n ;$

    on en tire l'égalité $ u(n\;,\;T_nS_{n-1})=\phi_n^0{(1+r)}^n+\phi_nT_nS_{n-1}$ ; se rappelant que $ T_n$ prend les 2 valeurs $ 1+a , 1+b$ on voit que cette dernière égalité est équivalente au système

    $\displaystyle \lbrace \begin{array}{l} u(n\;,\;(1+a)S_{n-1})1_{\{T_n=1+a\}}=[\p... ...\{T_n=1+b\}}=[\phi_n^0{(1+r)}^n+(1+b)\phi_nS_{n-1}] 1_{\{T_n=1+b\}} \end{array}$

    Après conditionnement par $ {\cal F}_{n-1}$ sous $ \textbf{P*}$ , ce système devient

    \begin{displaymath}\lbrace \begin{array}{l} u(n\;,\;(1+a)S_{n-1})=\phi_n^0{(1+r)... ...+b)S_{n-1})=\phi_n^0 {(1+r)}^n +\phi_n (1+b)S_{n-1} \end{array}\end{displaymath}

    On en tire
    $\displaystyle \phi_n^0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(1+b)u(n\;,\;(1+a)S_{n-1})-(1+a)u(n\;,\;(1+b)S_{n-1})}{(b-a){(1+r)}^n}$  
    $\displaystyle \phi_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u(n\;,\;(1+b)S_{n-1})-u(n\;,\;(1+a)S_{n-1})}{(b-a)S_{n-1}}$  

    Si $ k=0$ , $ u(n,s)=s$ , ce qui conduit aux égalités $ \phi_n^0=0\;\;,\;\;\phi_n=1$ : la stratégie de couverture de l'option $ h$ (qui en l'occurence est égale à $ S_N$) , consiste , comme on pouvait le prévoir , à conserver en portefeuille une action $ S$ .