Université René Descartes

Maitrise M.A.S.S (Mathématiques financières)

Examen (Septembre 2001)

Corrigé

1. On a $H_n=\frac{1}{{(1+r)}^{N-n}}\textbf{E*}[S_N\wedge k\vert {\cal F}_n]\leq {(1+r)}^n\textbf{E*}[\tilde{S}_N \vert {\cal F}_n ]={(1+r)}^n\tilde{S}_n=S_n$ .D'autre part ,
   $H_n\leq \frac{k}{{(1+r)}^{N-n}}$ , cette dernière quantité représentant la valeur actualisée du prix plafond
   à l'instant $n$
2. On peut écrire
   $${(1+r)}^{N-n}H_n=\textbf{E*}[S_N\wedge k\vert{\cal F}_n]=\textbf{E*}[S_nT_{n+1}\cdots T_N\wedge k\vert{\cal F}_n] =u(n,S_n)$$
   quand on a posé $u(n,s)=\textbf{E*}[sT_{n+1}\cdots T_N\wedge k]$ .

   On peut calculer explicitement $u$ à l'aide d'un lemme du cours : on a

   $$u(n,s)=\sum_{j=0}^{N-n} \left( \begin{array}{c} N-n\\ j \en... ...y}\right) p^j{(1-p)}^{N-n-j}[s{(1+a)}^j{(1+b)}^{N-n-j}\wedge k]$$
   d'où
   $$H_n=\frac{1}{{(1+r)}^{N-n}}\sum_{j=0}^{N-n} \left( \begin{arr... ...right) p^j{(1-p)}^{N-n-j}[S_n{(1+a)}^j{(1+b)}^{N-n-j}\wedge k]$$

3. Posons $S_0=s_0$ et montrons qu'une C.N.S. pour que $H_n =S_n\;\;\forall n$ est

   $$k\geq s_0{(1+b)}^N$$ (1)

   
   
   Comme $S_n=s_0T_1T_2\cdots T_N$ , on a

   $$S_N\leq s_0{(1+b)}^N$$ (2)

   
   
   D'autre part , l'indépendance des v.a. $T_i$ sous $\textbf{P*}$ entraine

   $$\textbf{P*}[S_N=s_0{(1+b)}^N]=\textbf{P*}[T_1=1+b ; T_2=1+b ; \cdots ;T_N=1+b]={(1-p)^N} >0 .$$ (3)

   
   
   Supposons alors (1) vérifiée ; on a $S_N\leq s_0{(1+b)}^N \leq k$ ; on peut alors écrire
   $$H_n=\frac{1}{{(1+r)}^{N-n}}\textbf{E*}[S_N\wedge k\vert{\cal F}_n]={(1+r)}^n\textbf{E*}[\tilde{S}_N\vert{\cal F}_n]={(1+r)}^n\tilde{S_n}=S_n$$

   Réciproquement , supposons $H_n =S_n\;\;\forall n$ ; cela entraine en particuler $H_N=S_N$ et donc $S_N\leq k$ . Comme , d'après (3) , $\{\omega \vert S_N(\omega)=s_0{(1+b)}^N\}\not= \phi$ , on a nécessairement $s_0{(1+b)}^N\leq k$ .

4. 1. Appelons $\Phi =(\phi_0 , \phi)$ un portefeuille autofinancé simulant $h$ . On a alors
      $$H_n=u(n,S_n)=V_n(\Phi)=\phi_n^0{(1+r)}^n+\phi _nS_n ;$$
      on en tire l'égalité $u(n\;,\;T_nS_{n-1})=\phi_n^0{(1+r)}^n+\phi_nT_nS_{n-1}$ ; se rappelant que $T_n$ prend les 2 valeurs $1+a , 1+b$ on voit que cette dernière égalité est équivalente au système
      $$\lbrace \begin{array}{l} u(n\;,\;(1+a)S_{n-1})1_{\{T_n=1+a\}}=[\p... ...\{T_n=1+b\}}=[\phi_n^0{(1+r)}^n+(1+b)\phi_nS_{n-1}] 1_{\{T_n=1+b\}} \end{array}$$
      Après conditionnement par ${\cal F}_{n-1}$ sous $\textbf{P*}$ , ce système devient
      $$\lbrace \begin{array}{l} u(n\;,\;(1+a)S_{n-1})=\phi_n^0{(1+r)... ...+b)S_{n-1})=\phi_n^0 {(1+r)}^n +\phi_n (1+b)S_{n-1} \end{array}$$
      On en tire
      

      $$\phi_n^0 = \frac{(1+b)u(n\;,\;(1+a)S_{n-1})-(1+a)u(n\;,\;(1+b)S_{n-1})}{(b-a){(1+r)}^n}$$

      $$\phi_n = \frac{u(n\;,\;(1+b)S_{n-1})-u(n\;,\;(1+a)S_{n-1})}{(b-a)S_{n-1}}$$

      
      

   2. La C.N.S. cherchée est la même qu'à la question précédente (i.e. $k\geq s_0{(1+b)}^N$) ; en effet :
      • Si (1) est vérifiée , on sait que $S_N=H_N$ ; $\Phi=(0,1)$ est alors un portefeuille simulant $h$ .
      • Si $\phi^0=0$ , on a $S_N=V_N(\Phi)=S_N\wedge k$ , d'où $S_N\leq k$ . nous avons vu à la question 3. (réciproque ) que cela entrainait l'inégalité (1) .