Université René Descartes

Maitrise M.A.S.S (Mathématiques financières)

Examen (28 Mai 2001)

Durée:3H Documents interdits


Problème
On se place dans le marché financier de Cox , Ross et Rubinstein tel qu'il est décrit dans le cours dont nous reprenons les notations . On supposera $ a<r<b$ et l'on se donne un nombre réel $ k \geq 0$ .
Une institution financière émet l'option $ h=S_N\vee k$ ; (cette option permet à son possesseur de profiter de la hausse du cours $ S$ tout en limitant son risque en cas de baisse puisqu'il est assuré de toucher la somme $ k$ à la date d'exercice). On notera $ H_n$ le prix de cette option à la date $ n$ .

  1. Montrer les inégalités

    $\displaystyle H_n \geq S_n \hspace{0.5cm},\hspace{0.5cm} H_n\geq \frac{k}{{(1+r)}^{N-n}}\hspace{1cm}\forall n\leq N$

  2. montrer qu'il existe une fontion $ u : (n,s)\mapsto u(n,s)$ de $ \{0,1,2,...N\}\times {\mathbb{R}}_+$ dans $ {\mathbb{R}}$ telle que

    $ H_n=u(n,S_n)\;\;\;\forall n$ ; calculer $ u$ explicitement .

  3. Que donne la formule trouvée à la deuxième question dans le cas où $ k=0$ ?
  4. Construire un portefeuille simulant $ h$ ; examiner là encore le cas $ k=0$ .