Université René Descartes

Maitrise M.A.S.S (Mathématiques financières)

Devoir sur table - Mars 2002

Corrigé

1. Montrons par exemple que $\textbf{E}[X_1\vert S_n]=\textbf{E}[X_2\vert S_n]$ ; on a , si $f$ ets une fonction numérique , et si m désigne la loi de $X_1$ , (et par conséquent de toute v.a. $X_i )$ ,
   

   $$\textbf{E}[X_1f(S_n)] = \sum_{x_1,x_2,\dots ,x_n}x_1f(x_1+x_2+\dots +x_n)m(x_1)m(x_2)\dots m(x_n)$$

   $$= \sum_{x_2,x_1,\dots ,x_n}x_2f(x_2+x_1+\dots +x_n)m(x_2)m(x_1)\dots m(x_n) = \textbf{E}[X_2f(S_n)]$$

   
   
   Prenons pour $f$ l'indicateur d'un point $j$ de ${\mathbb{R}}$ ; il vient $\textbf{E}[X_1\; ; S_n=j]=\textbf{E}[X_2 \;; S_n=j]$ . Il en résulte que
   $$\textbf{E}[X_1\vert S_n]=\sum_j\textbf{E}[X_1\vert S_n=j]1_{\{S_n=j\}}=\sum_j\textbf{E} [X_2\vert S_n=j]1_{\{S_n=j\}}=\textbf{E}[X_2\vert S_n]$$

2. Il résulte de la question précédente que
   $$\textbf{E}[X_1\vert S_n]=\frac{1}{n}\{\textbf{E}[X_1\vert S_n]+\t... ...ots \textbf{E}[X_n\vert S_n]\}=\textbf{E}[\frac{S_n}{n}\vert S_n]=\frac{S_n}{n}$$

3. On notera tout d'abord que deux algèbres $\cal F$ et $\cal G$ sont telles que ${\cal F}\subset {\cal G}$ si et seulement si ${\cal V}_{\cal F}\subset {\cal V}_{\cal G}$ ; il nous faut donc vérifier que toute v.a. ${\cal G}_{n+1}$-mesurable est ${\cal G}_n$-mesurable ; il suffit pour cela que les v.a. $S_{n+1} , X_{n+2} ,\dots , X_N$ soient ${\cal G}_n$-mesurables , ce qui est clair si l'on a remarqué que $S_{n+1}=S_n+X_{n+1}$ .
4. Soit $A=\{S_n=s\}\cap \{X_{n+1}=i_{n+1}\}\cap \dots \cap \{X_N=i_N\}$ un atome de ${\cal G}_n$ ; les v.a. $\textbf{E}[X_1\vert{\cal G}_n]$ sont constantes sur $A$ ; il s'agit de montrer que ces constantes sont égales , ce que prouve le calcul suivant où l'on a posé $B=\{X_{n+1}=i_{n+1}\}\cap \dots \cap \{X_N=i_N\}$
   $$\frac{\textbf{E}[X_11_A]}{\textbf{P}A}=\frac{\textbf{E}[X_1;\{S_n... ...bf{P} \{S_n=s\}\textbf{P}B}=\frac{\textbf{E}[X_1;\{S_n=s\}]}{\textbf{P}[S_n=s]}$$
   On a donc
   $$\frac{S_{n+1}}{n+1}=\textbf{E}[X_1\vert{\cal G}_{n+1}]=\textbf{E}... ...rt{\cal G}_n\vert{\cal G}_{n+1}]=\textbf{E}[\frac{S_n}{n}\vert{\cal G}_{n+1}] .$$