Université René Descartes

Maitrise M.A.S.S (Mathématiques financières)

Corrigé

1. 1. Posons $\beta =\frac{1}{1+r}$ ; on a
      $$\textbf{E}[\tilde S_{n+1}\vert{\cal F}_n]=\beta^{n+1}\textbf{E}[S... ...f{E}[T_{n+1}\vert{\cal F}_n]=\beta \tilde S_n\textbf{E}[T_{n+1}\vert{\cal F}_n]$$
      Il en résulte que
      $$\textbf{E}[\tilde S_{n+1}\vert{\cal F}_n]=\tilde S_n \iff \textbf{E}[T_{n+1}\vert{\cal F}_n]=1+r$$

   2. Si le marché est viable il existe une probabilité $\textbf{P*}$ sous laquelle $(\tilde S_n)$ est une martingale ; on peut alors écrire
      $$1+a_1\leq \textbf{E*}[T_1]=1+r\leq 1+a_3$$
      d'où le résultat .
   3. Supposons d'abord $r=a_1$ ; posons
      $$\phi_n^0=-1\;\;\;;\;\;\;\phi_n=1\;\;\;\;\;\;\forall n\leq N$$
      $\hat \phi=(\phi^0 , \phi)$ est une stratégie évidemment prévisible vérifiant $V_n(\hat \phi)=S_n-(1+r)^n$ , ce qui entraine $V_0(\hat \phi)=0$ et $V_n(\hat \phi)\geq 0\;\;\;\forall n$ . Plaçons nous maintenant sur l'événement (non vide , donc de probabilité $>0$) $A=[T_1=1+a_3 ]$ sur lequel on a $S_N=(1+a_3)T_2\ldots T_N >(1+r)^N$ ; il est clair que $V_N(\hat \phi )$ est $>0$ sur $A$ , ce qui montre que $\hat \phi$ est une statégie d'arbitrage . Dans le cas où $r=a_3$ c'est ( $-\hat \phi$ )qui constitue une stratégie d'arbitrage . Le comportement d'un spéculateur suivant ces 2 stratégies peut être décrit comme suit : si $r=a_1$ , il emprunte 1F à l'instant 0 ce qui lui permet d'acheter l'actif risqué qu'il conserve jusqu'à la date $N$ ; si , au contraire , $r=a_3$ , il emprunte une action qu'il vend immédiatement et place l'argent ainsi récolté à la caisse d'épargne .
2. 1. Soit $\omega$ un point de $\Omega$ ; il existe $(i_1,i_2,\ldots , i_N)\in \{1,2,3\}^N$ tel que
      $\omega =((1+a_{i_1}) , (1+a_{i_2}),\ldots , (1+a_{i_N}))$ . On a alors , puisque les v.a $T_i$ sont indépendantes ,
      $$\textbf{P}^*_x(\omega)=\textbf{P}^*_x\{[T_1=1+a_{i_1}] ; [T_2=1+a_{i_2}];\ldots ;[T_N=1+a_{i_N}]\}=x_{i_1}x_{i_2}\ldots x_{i_N}>0$$

   2. Sous $\textbf{P}^*_x \;,$ $T_{n+1}$ est indépendante de ${\cal F}_n$ ; on peut donc écrire
      $$\textbf{E}^*_x[T_{n+1}\vert{\cal F}_n]=\textbf{E}^*_x[T_{n+1}]=\sum_1^3(1+a_i)x_i=1+\sum_1^3a_ix_i .$$
      Il résulte alors de la question 1. que $(\tilde S_n)$ est une martingale si et seulement si $\sum_1^3a_ix_i =r$ .
3. Le système d'équations linéaires avec second membre
   

   $$x_1+x_2+x_3 = 1$$ (1)

   $$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3 = r$$ (2)

   
   
   est de rang 2 ; l'ensemble de ses solutions $x=(x_1,x_2 ,x_3)$ constitue donc une droite affine $D$ de
   ${\mathbb{R}}^3$ ; les intersections de cette droite avec les 3 plans formés par les axes des coordonnées sont
   $$u'=(0 , \frac{a_3-r}{a_3-a_2} , \frac{r-a_2}{a_3-a_2})\; ,\; u''=... ..._1}{a_3-a_1})\; ,\; u'''=(\frac{a_2-r}{a_2-a_1} ,\frac{r-a_1}{a_2-a_1} , 0 )\;.$$
   1. Supposons d'abord $a_1<r\leq a_2$ ; en écrivant que $D$ est l'unique droite passant par les points $u''$ et $u'''$ , on obtient
      $$x\in D \iff \exists s\in {\mathbb{R}} \;\;\;\;\;x=u''+s(u'''-u'')=su'''+(1-s)u''$$
      Un point $x$ de $D$ peut donc s'écrire sous la forme
      $$(s\frac{a_2-r}{a_2-a_1}+(1-s)\frac{a_3-r}{a_3-a_1}\;\; ,\;\; s\fr... ...-a_1} \;\;,\;\; (1-s)\frac{r-a_1}{a_3-a_1})\;\;\;\;\;\;\; (s\in {\mathbb{R}}) .$$
      Les coordonnées de ce point sont $>0$ si et seulement si $s\in ]0,1[$ de sorte que $J=]u'' , u'''[$ .
   2. Si , maintenant , $a_2<r<a_3$ un raisonnement analogue obtenu en remplaçant $u'''$ par $u'$ permet d'établir que $J=]u' , u''[$ .
4. D'après de 1.(b) et (c) , une condition nécessaire pour que le marché soit viable est $r\in ]a_1 , a_3[$ ; réciproquement , s'il en est ainsi ,(Cf 3.), il existe une infinité de probabilités de support $\Omega$ sous lesquelles $(\tilde S_n)$ est une martingale ; un théorème du cours nous assure alors que le marché financier est viable mais incomplet .

5. 1. Les coordonnées de $x$ et $y$ sont solutions des équations (1) et (2)
   2. Montrons , par exemple , que la v.a. $h=1_{[T_1=1]}$ n'est pas simulable .Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe une suite prévisible $(\phi_n)$ telles que

      $$h=\phi_0+\sum_{n=1}^N \phi_n \Delta \tilde S_n$$ (3)

      
      
      Plaçons nous sous la probabilité $\textbf{P}^*_x$ ; $(\tilde S_n)$ est une martingale ainsi que $M_n=(\phi*\tilde S)_n$ ; notant que (3) s'écrit $h=M_N$, on a
      $$1/4=x_1=\textbf{E}^*_x[h]=\textbf{E}^*_x[M_N]=\textbf{E}^*_x[M_0]=\phi_0$$
      Mais le même raisonnement effectué sous $\textbf{P}^*_y$ conduit à l'égalité $\phi_0=1/8$ d'où une contradiction.