Université René Descartes

Maitrise M.A.S.S (Mathématiques financières)

Devoir sur table - Mars 2002

Durée:2H Documents interdits



Problème

$(\Omega ,\textbf{P} )$ est un espace de probabilité fini et $(X_1,X_2 ,\ldots ,X_N)$ une suite de $N$ variables aléatoires réelles indépendantes équidistribuées sur $\Omega$ . On pose, pour $n\leq N$ ,

$$S_n=X_1+X_2 +\ldots +X_n$$

1. Montrer les égalités
   $$\textbf{E}[X_1\vert S_n]=\textbf{E}[X_2\vert S_n]=\dots =\textbf{E}[X_n\vert S_n]$$
   
   
   
2. En déduire que $\textbf{E}[X_1\vert S_n]=\frac{S_n}{n}$
   
   
3. Notons ${\cal G}_n$ l'algèbre ${\cal F}(S_n ,X_{n+1},\dots,X_N)$ ; montrer que $\forall n <N ,\;\; {\cal G}_{n+1}\subset {\cal G}_n$
   
   
4. Montrer que $\textbf{E}[X_1\vert{\cal G}_n]=\textbf{E}[X_1\vert S_n]$ ; en déduire les égalités
   $$\textbf{E}[\frac{S_n}{n}\vert{\cal G}_{n+1}]=\frac{S_{n+1}}{n+1}\;\;\;\;\;\forall n<N$$