Université René Descartes

Maitrise M.A.S.S (Mathématiques financières)

Examen - 5 Juin 2002

Durée:3H Documents interdits

Dans les deux problèmes qui suivent , $(\Omega ,\textbf{P} )$ désignera un espace de probabilité fini et $(X_1,X_2 ,\ldots ,X_N)$ une suite de $N$ variables aléatoires centrées , réelles , indépendantes , équidistribuées sur $\Omega$ . On posera

$$X_0=0\;\; ;\;M_n=X_0+X_1+\ldots +X_n\;\;(0\leq n\leq N)\;\;;\;\;\sigma^2=\textbf{E}[X_1^2]$$

et l'on supposera $\sigma^2>0$ ; on posera enfin ${\cal F}_n={\cal F}(X_0,X_1,\ldots ,X_n)$ .

1er Problème

1. Montrer que $(M_n)$ est une martingale et qu'il en est de même de la suite $(\sum_0^n(X_k^2-\sigma^2))$ .
2. On suppose que la martingale $(M_n)$ possède la propriété prévisible
   1. Montrer qu'il existe une suite prévisible $(U_n)$ telle que $X_n^2-\sigma^2=U_nX_n\;\;\;\;\forall n$
   2. Montrer qu'il existe une constante $C$ telle que
      $$X_n^2-CX_n-\sigma^2=0$$

   3. En déduire qu'il existe $a$ et $b >0$ tels que $X_n(\omega) \in \{-a , b\}\;\;\;\forall \omega \in \Omega$

2ième Problème

Réciproquement , on suppose que $(X_n)$ satisfait à la condition) 2.(c) précédente ; on se propose de montrer que $(M_n)$ possède alors la propriété de représentation prévisible . On posera

$$\textbf{P}[X_1=b]=p\;\;\;;\;\;\;\textbf{P}[X_1=-a]=q$$

1. Montrer que $\frac{p}{q} =\frac{a}{b}$
2. Soit $(Y_n)$ une v.a.r. ${\cal F}_n$-mesurable
   1. Montrer qu'il existe une application $f_n :{\mathbb{R}}^{n+1}\to {\mathbb{R}}$ telle que
      $$\textbf{E}[Y_n\vert{\cal F}_{n-1}]=pf_n(X_0,X_1,\ldots, X_{n-1},b)+qf_n(X_0,X_1,\ldots ,X_{n-1},-a)$$

   2. En déduire que la condition $\textbf{E}[Y_n\vert{\cal F}_{n-1}]=0$ entraine l'égalité
      $$Y_n=\frac{f_n(X_0,X_1,\ldots ,X_{n-1},b)}{b}X_n$$

3. Montrer alors que la martingale $(M_n)$ possède la propriété de représentation prévisible .