Université René Descartes

Maitrise M.A.S.S (Mathématiques financières)

Examen - 2 Septembre 2002

Durée:3H Documents interdits

Problème

On construit un marché financier d'horizon $N\geq 2$ , comportant un actif risqué $(S_n\;;\;0\leq n\leq N)$ , et un actif sans risque $S_n^0=(1+r)^n$ de la façon suivante : Soient $a_1 , a_2 , a_3$ trois nombres réels tels que
$-1<a_1<a_2<a_3$ ; on pose $\Omega=\{(1+a_1) , (1+a_2) , (1+a_3)\}^N$ , on désigne par $(T_n\;;\;1\leq n\leq N)$ la suite des applications coordonnées , et par $({\cal F}_n)$ la filtration naturelle qu'elle engendre (on posera par convention ${\cal F}_0=\{\Omega , \phi\}$) . L'actif risqué sera défini par la relation de récurrence

$$S_0=1\;\;\;;\;\;\;S_{n+1}=T_{n+1}S_n\;\;;\;\;n\in \{0,1,2,\ldots ,(N-1)\}$$

1. Soit $\textbf{P}$ une probabilité admettant $\Omega$ comme support ;
   1. Montrer que $(\tilde S_n)$ est une $\textbf{P}$-martingale si et seulement si
      $$\textbf{E}\{T_{n+1}\vert{\cal F}_n\}=1+r \;\;\;\;\;\forall n\in\{0,1,2,\ldots , (N-1)\} .$$

   2. En déduire que ce marché financier ne peut être viable que si $r\in [a_1 , a_3]$
   3. Trouver des stratégies d'arbitrage prévisibles dans les cas où $r=a_1$ et $r=a_3$ .

2. Soit $C$ le polyèdre convexe de ${\mathbb{R}}_+^3$ défini par les relations
   $$x\in C \iff x_i > 0 \;\;\;\forall i\in \{1,2,3\}\;\;et\;\;x_1+x_2+x_3=1$$
   Soit $x\in C$ ; on appellera $\textbf{P}_x^*$ la probabilité sur $\Omega$ pour laquelle :
   • la suite $(T_n)$ est indépendante et équidistribuée
   • la loi de $T_1$ est donné par les égalités $\textbf{P}_x^*\{T_1=1+a_i\}=x_i\;\;\;\;\;(i=1,2,3)$
     1. Montrer que le support de $\textbf{P}_x^*$ est $\Omega$
     2. Montrer que $(\tilde S_n)$ est une $\textbf{P}^*_x$-martingale si et seulement si $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=r$

3. On suppose $a_1<r<a_3$ et l'on appelle $J$ l'ensemble des vecteurs $x$ de $C$ pour lesquels $(\tilde S_n)$ est une $\textbf{P}^*_x$-martingale . Montrer que $J$ est un segment de ${\mathbb{R}}^3$ dont on précisera les extrémités .(On distinguera les 2 cas : $a_1<r\leq a_2$ et $a_2<r<a_3$)
4. On revient dans ce qui suit aux notations de la première question : $\textbf{P}$ est une probabilité quelconque de support $\Omega$
   1. donner une condition nécessaire et suffisante pour que le marché financier considéré soit viable .
   2. On suppose cette condition remplie ; ce marché est il complet ?
5. On pose $a_1=0 \;, a_2=1 \;, a_3=2 \;, r=1\;\;\;\;\;\;;\;\;x=(1/4\; , \;1/2 , \;1/4)\;\;,\;\;y=(1/8\; , 3/4\; , 1/8)$
   1. Montrer que $(\tilde S_n)$ est une martingale sous $\textbf{P}^*_x$ et sous $\textbf{P}^*_y$
   2. Montrer que les indicateurs des événements $[T_1=1]\;,\;[T_1=2]\; ,\; [T_1=3]$ constituent 3 variables aléatoires non simulables .