Université René Descartes

Maitrise M.A.S.S (Mathématiques financières)

Devoir sur table - Mars 2003

Corrigé

1. Soit ( $\omega _1 , \omega_2 \ldots , \omega_n$) une énumération de $\Omega$ ; l'application de $\textbf{V}$ dns ${\mathbb{R}}^n$ définie par
   $X \to (X(\omega_1) , X(\omega_2)\ldots , X(\omega_n))$ constitue un isomorhisme d'espace vectoriel (i.e. une bijection
   linéaire ) ; $\textbf{V}$ est donc de dimension $n$ . Pour étudier $\textbf{W}$ , introduisons une énumération $(z_1 , z_2 , \ldots , z_p)$ de $Z(\Omega)$ ; les $p$ événements $[Z=z_i]$ constituent une partition de $\Omega$ , si bien que les variables aléatoires
   $Y_i=1_{[Z=z_i]} \;\;(1\leq i\leq p)$ constituent $p$ vecteurs indépendants de $\textbf{W}$ . De plus , tout élément $\phi (Z)$ de $\textbf{W}$ peut s'écrire $\sum_{i=1}^{i=p} \phi (z_i)Y_i$ ce qui montre que la famille $(Y_i)$ engendre $\textbf{W}$ , et en constitue donc une base . W est par conséquent de dimension $p$ . Enfin A, qui admet une base constituée des 2 v.a. $Z$ et $1$ , est de dimension $2$ .
2. $U=\textbf {E}[X\vert Z]$ sera la projection orthogonale de $X$ sur W si elle vérifie les deux proriétés suivantes :
   a) $U\in \textbf {W}$ b) $\textbf {E}[XW]=\textbf {E}[UW]\;\;\;\forall W\in \textbf {W}$ .
   La condition a) est vérifiée par définition de l'espérance conditionnelle ; b) est démontré dans le cours en 2.2.2 .
3. Appelons $Y$ la projection orthogonale de $X$ sur $\textbf {A}$ ; il existe 2 réels $r$ et $s$ tels que

   $$Y=rZ+s$$ (1)

   
   On doit avoir
   $$\textbf {E}[X-Y]=0\;\;\;,\;\;\;\textbf {E}[(X-Y)Z]=0$$
   ce qui , compte tenu de (1), s'écrit encore

   $$\textbf {E}[X]=\textbf {E}[Y]=r\textbf {E}[Z]+s\;\;\;,\;\;\;\textbf {E}[XZ]=r\textbf {E}[Z^{2}]+s\textbf {E}[Z]$$ (2)

   
   De (1) et (2) on tire facilement l'égalité $Y-\textbf {E}[X]=r(Z-\textbf {E}[Z])$ si bien qu'il ne reste plus qu'à déterminer $r$ , ce qui se fait aisément en éliminant $s$ dans le système d'équations (2) .
   Rappelons que la v.a. $Y$ ainsi calculée s'appelle la régression de $X$ en $Z$ et la droite d'équation $y=\textbf {E}[X]+r(z-\textbf {E}[Z])$ la ligne de régression de $X$ en $Z$ .
4. Il résulte des propriétés d'une projection orthogonale que
   $$\textbf {E}[X-\textbf {E}[X\vert Z]]^{2}\leq \textbf {E}[X-W]^{2}\;\;\;\;\forall W\in \textbf {W}$$
   On obtient le résultat demandé en prenant $W$ égal à $Y$ .
5. Il suffit d'invoquer le résultat suivant relatif aux projections euclidiennes : si $\textbf {A}$ et W sont deux sous espaces vectoriels de V tels que $\textbf {A}\subset \textbf {W}$ alors $p_{A}\circ p_{W}=p_{A}$ .
6. Supposons $Z(\Omega)=\{a,b\}$ avec $a\not= b$ ; soit $W=\phi (Z)$ une v.a. de W ; il existe une fonction affine $\alpha$ (unique) telle que $\alpha (a)=\phi (a)\;\; et \;\;\alpha (b)=\phi (b)$ ; on a donc $\alpha (Z)=\phi (Z)$ si bien que $\textbf {A}=\textbf {W}$ ; la réponse à la question posée devient alors évidente .