Université René Descartes

Maitrise M.A.S.S (Mathématiques financières)

Corrigé de l'examen - Juin 2003

1. Consulter le cours polycopié.
2. On a, en appliquant (1)
   $$H_{n}={1\over (1+r)^{N-n}}\textbf {E}^{*}[h(S_{N}^{1}¥)\;\vert\;... ...\textbf {E}^{*}[h(S_{n}^{1}¥T_{n+1}T_{n+2}\ldots T_{N})\;\vert\; {\cal F}_{n}]$$
   Or, $S_{n}$ est ${\cal F}_{n}¥$-mesurable tandis que la v.a. $T_{n+1}\ldots T_{N}$ est indépendante de ${\cal F}_{n}¥$ ; les règles de calcul que nous avons vues pour l'espérance conditionnelle montrent que (2) est vérifiée quand on a posé

   $$c(n,s)=\frac{1}{(1+r)^{N-n}}\textbf {E}^{*}[h(sT_{n+1}\ldots T_{N})].$$ (1)

   
   La croissance de $h$ entraîne alors immédiatement celle des fonctions $c(n,\;.)$
3. 1. Par définition du prix d'une option, on a, si $\phi$ est la stratégie simulant $H$,
      $$V_{n}(\phi)=H_{n}=c(n,S_{n}^{1})$$
      ce qui s'écrit encore

      $$(1+r)^{n}\phi^{0}_{n}+\phi_{n}^{1}S_{n-1}^{1}T_{n}¥=c(n,S_{n-1}^{1}T_{n})$$ (2)

      
      Mais puisque les v.a. $T_{n}¥$ prennent les 2 valeurs $1+a$ et $1+b$, (4) est équivalent au système
      $$\lbrace \begin{array}{l} 1_{[T_{n}=1+a]}[(1+r)^{n}\phi_{n}^{0... ...n-1}^{1}(1+b)]=c(n,S_{n-1}^{1}(1+b))1_{[T_{n}=1+b]} \end{array}$$
      Prenons l'espérance conditionnelle des 2 membres relativement à ${\cal F}_{n-1}¥$ ; il vient, compte tenu du fait que $(\phi_{n})¥$ est prévisible et $T_{n}$ indépendante de ${\cal F}_{n-1}¥$,
      $$\lbrace \begin{array}{l} (1+r)^n\phi_{n}^{0}+\phi_{n}^{1}S_{n... ...{0}+\phi_{n}^{1}S_{n-1}^{1}(1+b)=c(n, S_{n-1}(1+b)) \end{array}$$
      On en tire

      $$\phi_{n}^{1}=\frac{c(n,(1+b)S_{n-1}^{1})-c(n,(1+a)S_{n-1}^{1})}{(b-a)S_{n-1}^{1}}$$ (3)

      
      
   2. Comme les fonctions $c(n\;,\;.)$ sont croissantes, (5) prouve que $\phi_{n}^{1}\geq 0\;\;\forall n$ ce qu'il fallait démontrer.
   3. On obtient le call européen de prix d'exercice $K$ en prenant pour fonction $h$ $x\to (x-K)^{+}¥$ qui est croissante. Le résultat (b) s'applique donc à ce cas.
   4. Supposons $N=1\; ,\; S_{0}^{1}=1$ et posons $u(x)=(K-x)^{+}$ ; pour simuler l'option de vente $u(S_{1}^{1}¥¥)$ le portefeuille $\phi¥$ devra vérifier
      $$\lbrace \begin{array}{l} \phi_{1}^{0}(1+r)+\phi_{1}^{1}(1+a)=u(1+a)\ \phi_{1}^{0}(1+r)+\phi_{1}^{1}(1+b)=u(1+b) \end{array}$$
      (on notera que $\phi_{1}¥$ est déterministe). On aura donc $\phi_{1}^{1}=\frac{(K-(1+b))^{+}-(K-(1+a))^{+}}{b-a}$ ; si nous supposons $K>1+a ,\;\;\phi_{1}^{1}¥¥$ est alors $<0$. Cela signifie que la couverture d'un put de prix d'exercice $>1+a$ nécessite la vente à découvert à la date $1$ d'une quantité $\vert\phi_{1}^{1}\vert$ de l'actif risqué .
4. Pour calculer explicitement $H_{n}¥$, revenons à la formule (3) ; apppliquant le lemme (39) du cours polycopié, on peut écrire
   $$\textbf {E}^{*}[h(sT_{n+1}\ldots T_{N})]=\sum_{k=0}^{N-n}C_{N-n}^k \; p^k q^{N-n-k}h(s(1+a)^k (1+b)^{N-n-k})$$
   On a donc
   $$H_{n}=c(n, S_{n}^{1}¥)=\frac{1}{(1+r)^{N-n}} \sum_{k=0}^{N-n}C_{N-n}^k\;p^kq^{N-n-k}h(S_{n}^{1}¥(1+a)^k(1+b)^{N-n-k})$$
   On calcule ensuite $\phi_{n}^{1}¥¥$ à l'aide de la formule (5).