Université René Descartes

Maitrise M.A.S.S (Mathématiques financières)

Devoir sur table - Mars 2003

Durée : 2H Documents interdits



Problème

Soient ( $\Omega ,\textbf{P}$) un espace de probabilité fini tel que $\textbf{P}(\omega) >0 \;\;\;\forall \omega \in \Omega$ et $Z$ une variable aléatoire réelle . On supposera $\vert\Omega \vert=n\;\;,\vert Z(\Omega )\vert=p$ et l'on notera

• V l'espace vectoriel euclidien des variables aléatoires réelles sur $\Omega$ muni du produit scalaire
  $(X , Y)\to \textbf {E}[XY]$ .
• W le sous espace de V formé par les fonctions déterministes de $Z$
• A le sous espace de W formé par les fonctions affines de $Z$

1. Quelles sont les dimensions des espaces vectoriels V , W et A ?
2. Soit $X\in \textbf {V}$ ; montrer que $\textbf {E}[X\vert Z]$ est la projection de $X$ sur W
3. Montrer que la projection eucidienne $Y$ de $X$ sur A est donnée par l'égalité
   $$Y=\textbf {E}[X]+r(Z-\textbf {E}[Z])$$
   quand on a posé $r =\frac{cov (X,Z)}{var (Z)}$
4. Montrer sans calculs l'inégalité $\textbf{E}[(X-\textbf{E}[X\vert Z])^2]\leq \textbf{E}[(X-Y)^2]$ .
5. Montrer que $Y$ est aussi la projection euclidienne de $\textbf {E}[X\vert Z]$ sur A
6. Montrer que $\textbf{E}[X\vert Z]=Y$ si $\vert Z(\Omega)\vert=2$