Université René Descartes

Maitrise M.A.S.S (Mathématiques financières)

Examen - Juin 2003

Durée : 3H Documents interdits


Problème

1. (Question de cours)
   1. Rappeler la définition du prix $H_{n}$ à la date $n$ d'une option européenne $H$ dans un marché financier viable et complet.
   2. Montrer l'égalité

      $$H_{n}=\frac{1}{(1+r)^{N-n}}\textbf {E}^{*}¥[H\;\vert\;{\cal F}_{n}¥]$$ (1)

      
      

   Dans toute la suite, ( $\Omega ,\textbf{P} ,(S_{n}\;\;,\;\;0\leq n\leq N)¥)$) désignera un marché financier de Cox, Ross et Rubinstein. Les notations générales seront celles du cours ; on posera en particulier $S_{n}=((1+r)^n,S_{n}^{1})$ où $r$ est le taux d'intérêt du marché et $(S_{n}^{1})$ le cours de l'actif risqué. On supposera $-1<a<r<b$. On se donne une fonction croissante $h:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}_{+}¥$ à la quelle on associe l'option européenne $H=h(S_{N}^{1}¥)$.

2. Déduire de (1) qu'ilexiste une fonction $c :(n,s)\to c(n,s)$ de $\{0,1,2,\ldots ,N\}\times {\mathbb{R}}_{+}$ dans ${\mathbb{R}}$ telle que

   $$H_{n}=c(n,S_n^{1}¥)\;\;\;\;\;\forall n$$ (2)

   
   Montrer de plus que, quelque soit $n$, la fonction $s\to c(n,s)$ est croissante.
3. Soit $(\phi_{n})=(\phi^{0}_{n},\phi ^{1}_{n})$ un portefeuille autofinancé simulant $H$.
   1. Exprimer $\phi^{1}$ à l'aide de $c$.
   2. Montrer que, au cours de cette stratégie, on n'effectue à aucun moment un emprunt d'actif risqué (ou, ce qui est équivalent, une vente à découvert de cet actif).
   3. La remarque précédente vaut-elle pour la stratégie de couverture d'une option d'achat (call européen) de prix d'exercice $K$ sur l'actif risqué ?
   4. Montrer par un exemple que la couverture d'une option de vente (put européen) sur l'actif risqué nécessite en général une vente à découvert de cet actif. (On pourra se limiter au cas où $N=1$).
4. On pose
   $$p=\frac{b-r}{b-a}\;\;\;\;,\;\;\;\;q=\frac{r-a}{b-a}\;.$$
   Calculer explicitement $(H_{n})$ et $(\phi^{1}_{n})$ en fonction de $h\;,\;p$ et $q$.