Université René Descartes

Maitrise M.A.S.S (Mathématiques financières)

Examen - Septembre 2003

Durée : 3H Documents interdits



Question de cours

1. Rappeler la définition du prix $H_{n}$ à la date $n$ d'une option européenne $H$ dans un marché financier viable et complet.
2. Montrer l'égalité
   $$H_{n}=\frac{1}{(1+r)^{N-n}}\textbf {E}^{*}¥[H\;\vert\;{\cal F}_{n}¥]$$
3. En déduire la relation de parité call-put dans un marché viable et complet

Problème¹

Soit $\Big( \Omega , \textbf {P} ,({\cal F}_{n}¥) , (S_{n})\;\;;\;\;0\leq n\leq N\Big)$ un marché financier tel que $\textbf {P}(\omega ) >0 \quad \forall \omega \in \Omega$.
Soit $p\in \{1,2,\ldots ,N\}$ ; on suppose qu'il existe un vecteur aléatoire $\eta =(\eta^{1},\eta^{2},\ldots , \eta^d)$, à valeurs dans ${\mathbb{R}}^d \;\mathrm{et}\\ {\cal F}_{p-1}¥$-mesurable tel que

$$U_{p}¥\geq 0\qquad ; \qquad \textbf {P}[U_{p}¥>0]>0$$ (1)

quand on a posé $U_{p}=[\eta , \Delta \tilde{S}_{p}¥]¥$.
On définit la suite de vecteurs aléatoires $(\psi_{n}\;\;;\;\;0\leq n\leq N¥)$ à valeurs dans ${\mathbb{R}}^d$ par

$$\psi_{n}=\left\{ \begin{array}{ll} \eta & \textrm{si}\;\; n=p\ 0&\textrm{si}\;\;n\neq p \end{array}\right.$$

1. Montrer que $(\psi_{n})$ est une suite prévisible.
2. Montrer qu'il existe un portefeuille $(\phi)_{n}=(\phi^{0},\phi^{1},\phi^{2},\ldots ,\phi^d)$, à valeurs dans ${\mathbb{R}}^{d+1}$, tel que
   $$\tilde{V}_{n}(\phi)= \left\{ \begin{array}{ll} 0&\textrm{si}\;\;n<p\ U_{p}&\textrm{si}\;\;n\geq p \end{array}\right.$$
3. En déduire que le marché n'est pas viable.
4. Réciproquement, on suppose le marché financier non viable. Montrer qu'il existe un entier $p$ et un vecteur aléatoire $\eta\;\;\;\;{\cal F}_{p-1}¥$-mesurable vérifiant (1).

   Indications : Si $(\phi_{n})$ est une stratégie d'arbitrage, on pourra poser

   $$p=\inf \{n\;\vert\;\textbf {P}[V_{n}(\phi)>0]>0 \}\;\;\mathrm{et}\;\;\eta =(\phi^{1}_{p}¥,\phi^{2}_{p}¥,\ldots,\phi^d_{p}¥)$$