Université René Descartes
Maitrise M.A.S.S (Mathématiques financières)
Examen - 6 Mai 2004
Corrigé
Les marchés considérés dans ce problème étant viables et complets, on appellera $ \textbf {P*}$ l'unique probabilité sur $ \Omega$ sous laquelle les cours actualisés des actifs sont des martingales. Rappelons que, dans ces conditions,
$\displaystyle \Pi_{n}(h)=\frac{1}{(1+r)^{N-n}}\textbf {E*}[h\;\vert\;{\cal F}_{n}Â¥]$
  1. On a donc
    $\displaystyle \Pi_{n}(f)+\Pi_{n}(g)=\frac{1}{(1+r)^{N-n}}\textbf {E*}[S_{N}^{1}... ... F}_{n}Â¥]=\frac{1}{(1+r)^{N-n}}\textbf {E*}[S_{N}^{1}+k\;\vert\;{\cal F}_{n}]$
    $\displaystyle =\tilde{k}(1+r)^n +(1+r)^n\textbf {E*}[\tilde{S_{N}^{1}}\;\vert\;... ..._{n}]=\tilde{k}(1+r)^n +(1+r)^n \tilde{S}_{n}^{1}=\tilde{k} (1+r)^n +S_{n}^{1}$
  2. Appelons $ \psi$ le portefeuille ainsi constitué ; on a
    $\displaystyle V_{n}(\psi)=\Pi_{n}(g)+\Pi_{n}(f)-S_{n}^{1}=\tilde{k}(1+r)^n .$
    L'investisseur doit disposer de la somme $ V_{0}(\psi)=\tilde{k}Â¥$ à la date 0 ; d'autre part ce portefeuille a le même comportement que celui qui serait constitué de la somme $ \tilde{k}$ placé dans l'actif sans risque.
  3. 0n a
    $\displaystyle V_{n}(\phi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \Pi_{n}(g)-\Pi_{n}(f)=\frac{(1+r)^n}{(1+r)^N}\textbf {E*}[\vert S... ...(1+r)^n\vert\textbf {E*}[\tilde{S}_{N}^{1}-\tilde{k}\;\vert\;{\cal F}_{n}]\vert$  
      $\displaystyle \geq$ $\displaystyle (1+r)^n \vert\tilde{S_{n}^{1}}-\tilde{k}\vert=\vert S_{n}^{1}-\tilde{k}(1+r)^n\vert¥¥$  

    1. On peut écrire

      $\displaystyle {(1+r)}^{N-n}\Pi_{n}(g)=\textbf{E*}[S_N^{1}Â¥\vee k\vert{\cal F}_n]=\textbf{E*}[S_n^{1}Â¥T_{n+1}\cdots T_N\vee k\vert{\cal F}_n] =u(n,S_n^{1}Â¥) $
      quand on a posé $ u(n,s)=\textbf{E*}[sT_{n+1}\cdots T_N\vee k]$ .

      On peut calculer explicitement $ u$ à l'aide d'un lemme du cours relatif au conditionnement : on a

      \begin{displaymath}u(n,s)=\sum_{j=0}^{N-n} \left( \begin{array}{c} N-n\ j \end{array}\right) p^j{(1-p)}^{N-n-j}[s{(1+a)}^j{(1+b)}^{N-n-j}\vee k]\end{displaymath}
      d'où
      \begin{displaymath}\Pi_n(g)=\frac{1}{{(1+r)}^{N-n}}\sum_{j=0}^{N-n} \left( \begi... ...t) p^j{(1-p)}^{N-n-j}[S_n^{1}Â¥{(1+a)}^j{(1+b)}^{N-n-j}\vee k] \end{displaymath}
    2. Appelons $ \Phi =(\phi^{0}Â¥ , \phi^{1}Â¥)$ un portefeuille autofinancé simulant $ g$ . On a alors
      $\displaystyle \Pi_{n}(g)Â¥=u(n,S_n^{1}Â¥)=V_n(\Phi)=\phi_n^0{(1+r)}^n+\phi _nS_n^{1}Â¥ ;$
      on en tire l'égalité $ u(n\;,\;T_nS_{n-1}^{1}Â¥)=\phi_n^0{(1+r)}^n+\phi_n^{1}Â¥T_nS_{n-1}^{1}Â¥$ ; se rappelant que $ T_n$ prend les 2 valeurs $ 1+a , 1+b$ on voit que cette dernière égalité est équivalente au système
      \begin{displaymath}\lbrace \begin{array}{l} u(n\;,\;(1+a)S_{n-1}^{1}Â¥)1_{\{T_n... ...}^n+(1+b)\phi_n^{1}Â¥S_{n-1}^{1}Â¥] 1_{\{T_n=1+b\}} \end{array}\end{displaymath}
      Après conditionnement par $ {\cal F}_{n-1}$ sous $ \textbf {P*}$ , ce système devient
      \begin{displaymath}\lbrace \begin{array}{l} u(n\;,\;(1+a)S_{n-1}^{1}Â¥)=\phi_n^0... ...1}Â¥)=\phi_n^0 {(1+r)}^n +\phi_n (1+b)S_{n-1}^{1}Â¥ \end{array}\end{displaymath}
      On en tire
      $\displaystyle \phi_n^0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(1+b)u(n\;,\;(1+a)S_{n-1}^{1}Â¥)-(1+a)u(n\;,\;(1+b)S_{n-1}^{1}Â¥)} {(b-a){(1+r)}^n}$  
      $\displaystyle \phi_n^{1}Â¥$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u(n\;,\;(1+b)S_{n-1}^{1}Â¥)-u(n\;,\;(1+a)S_{n-1}^{1}Â¥)} {(b-a)S_{n-1}^{1}Â¥}$  

    Les résultats concernant l'option $ f$ peuvent être obtenus simplement en utilisant les égalités (1).


Jacques Azéma