Université René Descartes

Maitrise M.A.S.S (Mathématiques financières)

Examen - 6 Mai 2004

Durée : 3H Documents interdits


Problème

Soit $(\Omega,(S_{n}),({\cal F}_{n}),\textbf {P})$ un marché financier viable et complet.
On adoptera les notations générales du cours : en particulier, le prix à la date $n$ d'une option européenne $h$ sera noté $\Pi_{n}(h)$. Si $k$ un réel positif, on introduit 2 options européennes $f$ et $g$ par les égalités

$$f=S_{N}^{1}\wedge k\;\;\;\;;\;\;\;\;g=S_{N}^{1}\vee k¥¥$$

1. Montrer les égalités

   $$\Pi_{n}(f)+\Pi_{n}(g)=\tilde{k}(1+r)^n¥+S_{n}^{1}\;\;\;\;\forall n \in \{1,2,\ldots , N\}$$ (1)

   
   
2. Un investisseur désire constituer un portefeuille à la date 0 comprenant
   • une options $f$
   • une option $g$
   • l'emprunt d'une unité de l'actif sous-jacent
   De quelle somme doit il disposer à la date 0 ? La sratégie consistant à ne pas modifier ce portefeuille jusqu'à la date d'exercice $N$ vous parait-elle risquée ?
3. Un deuxième investisseur constitue un portefeuille $\phi$ de la manière suivante : à la date 0 il achète une option $g$, emprunte une option $f$ et ne modifie plus sa composition jusqu'à la date $N$ ; montrer que la valeur à la date $n$ de ceportefeuille vérifie l'inégalité
   $$V_{n}(\phi)\geq \vert S_{n}-\tilde{k}(1+r)^n¥\vert$$
4. On suppose maintenant que le marché financier est un marché viable de Cox, Ross et Rubinstein.
   1. Calculer explicitement $\Pi_{n}(g)Â¥$ et $\Pi_{n}(f)$.
   2. Déterminer les portefeuilles de couverture des options $f\; \mathrm{et}\; g$.