Université René Descartes

Maitrise M.A.S.S (Mathématiques financières)

Examen (Rattrapage) - 17 Juin 2004

Durée : 3H Documents interdits


Problème

Soit $(\Omega,(S_{n}),({\cal F}_{n}),\textbf {P})$ un marché financier de Cox, Ross et Rubinstein tel que $a<r<b \;\mathrm{et}\;N\geq2$.
On adoptera les notations générales du cours : en particulier, le prix à la date $n$ d'une option européenne $h$ sera noté $\Pi_{n}(h)$.
On notera $h$ l'option européenne définie par

$$h=\sqrt{S_{N-1}^{1}Â¥S_{N}^{1}Â¥}$$

1. 1. Montrer qu'il existe un nombre réel $\alpha$, que l'on calculera explicitement en fonction de $a, \;b\;\mathrm{et}\;r$ tel que
      $$\Pi_{n}(h)=\alpha S_{n}^{1}Â¥\;\;\;\;\;\forall n\leq N-1$$
   2. On se place maintenant à la date $N$ ; est il encore vrai que $\Pi_{N}(h)$ est une fonction déterministe de $S_{N}Â¥$ ?
2. Montrer que
   $$\Pi_{n}(h)\leq \frac{S_{n}^{1}Â¥}{\sqrt{1+r}}\;\;\;\;\;\forall n\leq N-1 \;.$$
   Cette inégalité est-elle encore vraie pour $n=N$ ?
3. 1. On appelle $(\phi_{n}\;\;;\;\;n=1,2,\ldots , N )$ le portefeuille de couverture de $h$ ; calculer explicitement $\phi_{n}$ pour $n<N$ puis pour $n=N$.
   2. Vérifier que ce portefeuille est autofinancé