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Loi d'une variable aléatoire

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $E$ ; nous appellerons loi (on dit aussi souvent distribution) de $X$ la probabilité $\Pi_X$ définie sur l'ensemble fini $X(\Omega )$ par

$$\Pi_X(k) = \textbf{P}[X=k] \;\;\;\;\forall k\in X(\Omega)$$

Deux v.a. admettant la même loi seront dites équidistribuées

Regardons quelles sont les lois des v.a. que nous avons rencontrées

1. loi d'un indicateur ; loi de Bernoulli . Soit $A$ un événement de probabilité $\alpha$ ; la v.a. $1_A$ ne prend que les deux valeurs 0 et 1 , de sorte que sa loi $\Pi$ est la probabilité sur$\{0 , 1\}$ vérifiant $\Pi(0)=1-\alpha \;\; ,et \; \Pi(1)=\alpha$

   La probabilité $\Pi$ que l'on vient de définir sur $\{0 , 1\}$ s'appelle loi de Bernoulli de paramètre $\alpha$

   Dans l'exemple b), les variables aléatoires $Y_i$ définies à la fin du paragraphe 1.2.3. sont équidistribuées : chacune d'entre elles suit une loi de Bernoulli de paramètre $n_1\over n$

2. loi binomiale . Restons dans l'exemple b) et calculons la loi $\Pi$ de la v.a. $Z_1$ introduite en 1.2.2 ; notons tout d'abord que $Z_1$ prend ses valeurs dans l'ensemble $\{0,1,2,...,p\}$ ; si $k$ est un entier $\leq p$ , l'événement $[Z_1=k]$ est l'ensemble des suites de taille $p$ dont $k$ termes appartiennent à $E_1$ ; il contient donc ${p!\over{k!(p-k)!}}{ n_1 }^k{n_2}^{p-k}$ éléments ,ce qui nous mène à l'égalité
   $$\Pi(k)=\textbf{P}[Z_1=k]={{p!\over{k!(p-k)!}} ({n_1\over n})^k}({n_2\over n})^{p-k}$$
   On appellera loi binomiale de paramètres $(\alpha ,p) \;\;\;(\alpha \in]0,1[$ ; $p\in {\mathbb{N}})$ , la probabilite $\Pi$ sur $\{0,1,2,...,p\}$ déterminée par
   $$\Pi(k)={p!\over {k!(p-k)!}}\alpha ^k(1-\alpha )^{p-k}$$
   Ainsi $Z_1$ (resp. $Z_2$) suit une loi binomiale de paramètres ( ${n_1\over n} , p$) , (resp. ( ${n_2\over n} , p$)) .
   
3. loi hypergéométrique Déterminons la loi de la v.a. $X(F , G)=\sharp (F\cap G)$ de l'exemple d) : $X$ prend ses valeurs dans l'intervalle $I=[(p+q-n)^+ ,\;\; p\wedge q]$ ; si $k$ appartient à cet intervalle , on a
   $$\sharp \{(F , G)\vert X(F , G)=k\}= \left( \begin{array}{c} n... ...\right) \left( \begin{array}{c} n-p\\ q-k \end{array}\right)\;,$$
   de sorte que

   $$\textbf{P}[X=k]=H(n,p,q,k)=\frac{\left( \begin{array}{c} p\\ k \e... ...\\ q-k \end{array} \right)} {\left( \begin{array}{c} n\\ q \end{array} \right)}$$ (1.6)

   
   La probabilité $\Pi$ portée par $I$ donnée par $\Pi(k)=H(n,p,q,k)$ est appelée loi hypergéométrique de paramètres $n , p , q$ .
4. Exercices
   1. Vérifier par un calcul purement algébrique que $\sum_k H(n,p,q ,k)=1$ ; (on pourra utiliser l'identité $(1+x)^p(1+x)^{n-p}=(1+x)^n$ et égaler les coefficients de $x^q$ figurant dans les 2 membres ) .
   2. Dans l'exemple d) , calculer $\textbf{P}[F\subset G]$ et $\textbf{P}[F\cap G=\phi]$ .
   3. Au jeu du loto , (exmple c)) , calculer la probabilité d'avoir $k$ numéros gagnants .

La connaissance de la loi d'une variable aléatoire permet de calculer son espérance , ses moments , sa fontion génératrice etc... ; plus généralement , on a le résultat suivant :

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