Section : Viabilité et complétude de
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Lemme :

Soit $T$ une variable aléatoire réelle à valeurs dans l'esemble à deux points $\{\alpha , \beta \} \;\;\;\;(\alpha <\beta )$ et soit $\cal G$ une sous algèbre de $\cal F$ ; on suppose qu'il existe une constante $m$ telle que $\textbf{E}[T\vert {\cal G}]=m$ ; $T$ est alors indépendante de $\cal G$ et sa loi est donnée par les égalités

$$\textbf{P}[T=\alpha] = \frac{\beta -m}{\beta -\alpha}\hspace{1cm};\hspace{1cm}\textbf{P}[T=\beta]=\frac{m-\alpha}{\beta -\alpha}$$

Démonstration On montre d'abord comme précédemment que $\alpha <m<\beta$ .
Posons $A=\textbf{P}[T=\alpha\vert {\cal G}]\;\; ,\;\; B=\textbf{P}[T=\beta \vert {\cal G}]$ ; en conditionnant par rapport à $\cal G$ les égalités

$$1_{[T=\alpha]}+1_{[T=\beta]}=1 \;\;,\;\;T=\alpha1_{[T=\alpha]}+\beta1_{[T=\beta]}$$

on obtient

$$A+B=1 \hspace{0.5cm},\hspace{0.5cm} \textbf{E}[T\vert {\cal G}]=\alpha A +\beta B .$$

Il en résulte que les variables aléatoires $A$ et $B$ sont solutions du système de 2 équations à 2 inconnues :

$$A+B=1 \hspace{1cm},\hspace{1cm}\alpha A+\beta B=m \;\;\; ,$$

dont l'unique solution est

$$A=\frac{\beta -m}{\beta -\alpha}\hspace{1cm},\hspace{1cm}B=\frac{m-\alpha}{\beta - \alpha}\;\;.$$

Il est alors important de noter que les variables aléatoires $A$ et $B$ sont des constantes ; cela signifie en effet que la loi conditionnelle de $T$ quand $\cal G$ ne dépend pas de $\omega$. La v.a. $T$ est donc indépendante de l'algèbre $\cal G$ ; l'assertion concernant sa loi est à peu près évidente .