Université René Descartes
UFR de Mathématiques et Informatique
EXAMEN DE STATISTIQUE - 1ère Session
MAITRISE de MATHEMATIQUES et MAITRISE MASS
Année 2000-2001

Exercice 1

On observe un n-échantillon $(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n})$ de la loi de Poisson de paramètre inconnu $\theta \in \mathbb{R}_{+}^{*}$. On veut estimer $\theta ^{k}$, $k \in \mathbb{Z}^{*}$ étant fixé.

1. Montrer que le modèle statistique considéré est exponentiel . Donner une statistique exhaustive et complète pour $\theta$.

   On pose $T =\sum_{i=1}^{n}X_{i}$. Rappeler la loi de $T$.

2. On veut estimer $\theta ^{k}$, $k \in \mathbb{N}^{*}$ étant fixé.
   1. Montrer que $S = \displaystyle \frac{T(T-1)\ldots (T -k +1)}{n^{k}}$ est l'unique estimateur sans biais uniformément de variance minimum parmi les estimateurs sans biais de $\theta ^{k}$.
   2. Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance de $\theta ^{k}$. Justifier sans calcul qu'il n'est pas sans biais.
3. Etant donné une application borélienne $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, justifier que :
   $$E_{\theta}(f(T)) = \frac{ \displaystyle \sum_{j=0}^{+ \infty} f... ... \displaystyle \sum_{j=0}^{+ \infty} \displaystyle \frac{(n \theta)^{j}} {j!}}$$
   et en déduire qu'il n'existe pas d'estimateur sans biais uniformément de variance minimum de $\theta ^{-k}$, $k \in \mathbb{N}^{*}$.

Exercice 2

On observe un n-échantillon $(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n})$ de la loi normale ${\cal{N}}(\theta , 1)$ , $\theta$ étant un paramètre inconnu appartenant à $\mathbb{R}$.

1. Montrer que le modèle statistique considéré est exponentiel.
2. On veut tester l'hypothèse $H_{0} : \, \theta =0$ contre l'hypothèse $H_{1} : \, \theta \not= 0$. Exprimer, à l'aide de la fonction de répartition de la loi ${\cal{N}}(0, 1)$, la fonction puissance du test de fonction critique $\varphi ={\bf {1}}_{]c,+ \infty[}(\vert\overline {X}\vert)$ où $\overline {X} = \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_{i}$ et où $c$ est un nombre réel positif donné ; montrer que cette fonction puissance est paire.

   On note $\alpha$ le niveau du test $\varphi$ ; montrer que ce test $\varphi$ est uniformément le plus puissant parmi les tests sans biais (UPPB) au seuil $\alpha$.

3. Donner le test le plus puissant, au seuil $\alpha$ donné, de $H_{0} : \, \theta =0$ contre $H_{2} : \, \theta = 1$, puis celui de $H_{0} : \, \theta =0$ contre $H_{3} : \, \theta = -1$.
4. On teste maintenant l'hypothèse $H_{0} : \, \theta =0$ contre $H_{4} : \, \vert\theta\vert = 1$.
   1. Montrer qu'il n'existe pas de test uniformément le plus puissant (UPP).
   2. Pour $n=4$, à l'aide de la table fournie, déterminer le niveau $\alpha_{o}$ du test de fonction critique $\varphi_{o}^{\prime} = {\bf {1}}_{]- \infty,- \frac{1}{2}[\cup ]0,+ \infty[}(\overline{X})$ . $\varphi_{o}^{\prime}$ est-il sans biais ?
   3. Pour $n=4$, à l'aide de la table fournie, déterminer la valeur de la constante $c_{0}$ telle que $\varphi_{o} = {\bf {1}}_{]c_{o},+ \infty[}(\vert\overline {X}\vert)$ soit de niveau $\alpha_{o}$ et calculer sa fonction puissance. En déduire que $\varphi_{o}$ n'est pas UPPB au seuil $\alpha_{o}$ .