Université René Descartes
UFR de Mathématiques et Informatique
EXAMEN DE STATISTIQUE - 2ème Session
MAITRISE de MATHEMATIQUES et MAITRISE MASS
Année 2000-2001 - mardi 11 septembre - 14h-17h

On observe un n-échantillon $(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n})$ de la première loi de Laplace de densité $f_{\theta}$, par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}$, définie par :

$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad f_{\theta}(x)=\frac{1}{2\theta} exp(-\frac{\vert x\vert}{\theta})$$

$\theta$ étant un paramètre inconnu appartenant à $\mathbb{R}_{+}^{*}$.

1. Calculer $E(\sum_{k=1}^{n}\vert X_{k}\vert)$ et $Var(\sum_{k=1}^{n}\vert X_{k}\vert)$.
2. Donner la densité de la loi du n-échantillon et montrer que le modèle statistique considéré est exponentiel.

   Proposer une statistique exhaustive et complète pour $\theta \in \mathbb{R}_{+}^{*}$.

3. Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance ${\widehat{\theta}_{n}}$ de $\theta$. Est-il sans biais ? Est-il fortement consistant ?
4. Montrer que le modèle est régulier. Calculer l'information de Fisher du modèle. Quelle est la variance d'un estimateur efficace de $\theta$ ? Déterminer un estimateur de ${\theta}$ uniformément de variance minimum parmi les estimateurs sans biais.
5. Justifier que la loi de ${\widehat{\theta}_{n}}$ peut être approchée pour "$n$ grand" par une loi normale ${\mathcal{N}}(m(\theta),\sigma^{2}(\theta))$ dont on donnera les paramètres $m(\theta)$ et $\sigma^{2}(\theta)$.
6. Soit $X$ une variable aléatoire de la loi ${\mathcal{N}}(0.1)$, on donne que $P(\vert X\vert <1,96) = 0.95$. En déduire avec l'approximation précédente un intervalle de confiance à $95\%$ pour $\theta$.
7. On souhaite tester l'hypothèse $H_{0}: \theta \leq \theta_{0}$ contre l'hypothèse $H_{1} : \theta > \theta_{0}$.

   Donner la forme générale d'un test uniformément le plus puissant au seuil $\alpha$.

   Dans le cas où $\alpha = 0,025$, $\theta_{0}= 1$ et $n=100$, déterminer la région critique en utilisant l'approximation considérée à la question numéro 5.

8. Déterminer l'estimateur bayésien de $\theta$ pour la loi a priori de densité $q$, par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}$, définie par :
   $$\forall \theta \in \mathbb{R}, \quad q(\theta)=\frac{\alpha}{{\theta}^{2}} exp(-\frac{\alpha}{\theta}) {\bf {1}}_{\mathbb{R}_{+}^{*}}(\theta)$$
   $\alpha$ étant connu appartenant à $\mathbb{R}_{+}^{*}$.

   On rappelle que, pour $p$ entier, on a :

   $$\int_{0}^{+ \infty} y^{p} e^{-y} dy = p!$$