Université René Descartes
UFR de Mathématiques et Informatique
EXAMEN DE STATISTIQUE - 1ère Session
MAITRISE de MATHEMATIQUES et MAITRISE MASS
Année 2001-2002
Vendredi 25 janvier 2002 - 13h30-16h30
Le sujet comporte 2 pages
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Exercice 1

Soit $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{n}, Z_{1}, Z_{2}, \ldots, Z_{n}$ des variables aléatoires indépendantes de loi normale de même variance $\sigma^2 > 0$ . On suppose que leurs espérances vérifient $E(X_{i})=m_{1}$, $E(Y_{i})=m_{2}$ et $E(Z_{i})=m_{1}+m_{2}$ , pour $i=1,2,\ldots,n$, $m_{1}$ et $m_{2}$ étant deux réels.

On pose :

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} \qquad \overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_{i} \qquad \overline{Z}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Z_{i}$$

$$S_{X}^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^2 \quad... ...verline{Y})^2 \quad S_{Z}^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(Z_{i}-\overline{Z})^2$$

1. On suppose $\sigma^2$ connu, $m_{1}$ et $m_{2}$ inconnus.
   1. Donner la densité de la loi de $( X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{n}, Z_{1}, Z_{2}, \ldots, Z_{n} )$.

      Justifier que le modèle statistique considéré est exponentiel.

      Montrer qu'il existe une statistique exhaustive complète minimale pour $(m_{1}, m_{2}) \in \mathbb{R}^2$ et donner son expression à l'aide de $\overline{X}$, $\overline{Y}$ et $\overline{Z}$.

   2. Soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2$. Déterminer les estimateurs sans biais de $am_{1}+bm_{2}$ qui sont des combinaisons linéaires de $\overline{X}$, $\overline{Y}$ et $\overline{Z}$ et des fonctions de la statistique exhaustive complète précédente.
   3. Justifier qu'il existe un unique estimateur $S$ de $am_{1}+bm_{2}$ qui soit sans biais uniformément de variance minimum parmi les estimateurs sans biais de carré intégrable de $am_{1}+bm_{2}$. Calculer sa fonction de risque.

      Comparer $S$ et $a\overline{X}+b \overline{Y}$ pour l'estimation de $am_{1}+bm_{2}$.

2. On suppose $m_{1}, \ m_{2}$ et $\sigma^2$ inconnus.
   1. Justifier que le modèle statistique considéré est linéaire et le décrire sous la forme matricielle habituelle $U = X \beta + \epsilon$ en indiquant ce que sont ici $U$, $X$ , $\beta$ et $\epsilon$.

      Le modèle est-il régulier ?

   2. Donner les estimateurs de $m_{1}$, $m_{2}$ et $\sigma^2$ obtenus par la méthode des moindres carrés ; on les exprimera à l'aide de $\overline{X}$, $\overline{Y}$, $\overline{Z}$, $S_{X}^2$, $S_{Y}^2$ et $S_{Z}^2$ et on vérifiera que l'estimateur de $\sigma^2$ peut être mis sous la forme $\lambda (S_{X}^2+S_{Y}^2+S_{Z}^2)+ \mu(\overline{X}+\overline{Y}-\overline{Z})^{2}$, $\lambda$ et $\mu$ étant deux réels que l'on donnera.
   3. Soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ , donner l'estimateur des moindres carrés de $am_{1}+bm_{2}$.

Exercice 2

On considère un n-échantillon $(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n})$ de la loi de densité $f_{\theta}$, par rapport à la mesure de Lebesgue sur $]-1,1[$, définie par :

$$\forall x \in ]-1,1[, \quad f_{\theta}(x) = \frac{\theta + 1}{2}(1 - \vert x\vert)^{\theta}$$

$\theta$ étant un paramètre inconnu appartenant à $]-1, +\infty[$.

1. Donner la densité de la loi du n-échantillon et montrer que le modèle statistique considéré est exponentiel.

   Proposer une statistique exhaustive minimale pour $\theta \in ]-1, +\infty[$.

2. On pose
   $$T_{n}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln(1 - \vert X_{i}\vert)$$
   Donner les valeurs de $E_{\theta}(T_{n})$ et $Var_{\theta}(T_{n})$.

   Donner la loi limite de $\sqrt{n}(T_{n} + \displaystyle \frac{1}{\theta + 1})$ quand $n$ tend vers l'infini.

3. Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance $\widehat{\theta_{n}}$ de $\theta$. Montrer qu'il est fortement consistant et asymptotiquement normal (donner la variance de la loi limite).
4. On souhaite tester l'hypothèse $H_{0}: \theta \leq \theta_{0}$ contre l'hypothèse $H_{1}: \theta > \theta_{0}$ au seuil $\alpha$. Justifier qu'il existe un test uniformément le plus puissant et donner sa forme générale. Dans le cas où $\alpha = 0,01$, $\theta_{0}=1$ et $n = 100$, donner une approximation de la région critique en utilisant la question 3 ( on donne que $P(N < 2,326) = 0,99$ si $N$ est une variable aléatoire de loi normale ${\cal{N} } (0,1)$).