Université Paris 5 - René Descartes

UFR de Mathématiques et Informatique

, rue des Saints-Pères 75270 Paris cedex 06

Maîtrises Math-Mass 2001-2002

Partiel - 13 novembre 2001

9h - 11h30

Problème

Propriétés de la moyenne empirique d'un échantillon gaussien.

Soit $n\geq1$ quelconque. On considère un un $n$-échantillon $(X_1,\ldots,X_n)$ de variables gaussiennes de loi ${\cal N}({\theta},1)$, avec ${\theta}\in{\mathbb{R}}$. On note $$\bar X(n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$$ la moyenne empirique. Le but de ce problème est d'établir quelques-unes de ses propriétés en tant qu'estimateur de ${\theta}$. La fonction de coût considérée est comme toujours la fonction de coût quadratique.

1)

Premières propriétés.

a)

Préciser le modèle statistique $({\Omega}^{(n)},{\cal A}^{(n)},\{{\mathbb{P}}_{\theta}^{(n)},{\theta}\in{\Theta}\})$ associé à l'échantillon $(X_1,\ldots,X_n)$.

b)

Montrer que $\bar X(n)$ est une statistique exhaustive, minimale et complète.

c)

Montrer que $\bar X(n)$ est un estimateur sans biais, de risque constant.

d)

Montrer que le modèle statistique est un modèle régulier, et que $\bar X(n)$ est un estimateur régulier, efficace, et uniformément de variance minimale parmi les estimateurs sans biais. Calculer l'information de Fisher $I_n({\theta})$ associée.

2)

On veut ici montrer que $\bar X(n)$ est un estimateur admissible.

a)

Rappeler ce que signifie un estimateur meilleur qu'un autre, et ce qu'est un estimateur admissible. En déduire qu'un estimateur meilleur que $\bar X(n)$ est nécessairement biaisé.

b)

Soit $T$ un estimateur quelconque de ${\theta}$, de carré intégrable. On note $b({\theta})={\mathbb{E}}_{{\mathbb{P}}_\theta^{(n)}}[T]-{\theta}$ son biais, et $R({\theta},T)$ son risque quadratique. Montrer que cet estimateur est régulier, et que $b$ est dérivable ( il est conseillé de l'admettre dans un premier temps ). A l'aide de l'inégalité de Cramer-Rao, établir l'inégalité suivante :

$$R({\theta},T)\geq b^2({\theta})+\frac{(1+b'({\theta}))^2}{n}$$

c)

On suppose $T$ meilleur que $\bar X(n)$. Montrer qu'alors on a l'inégalité

$$b^2({\theta})+\frac{(1+b'({\theta}))^2}{n}\leq\frac{1}{n}.$$

En déduire que $b$ est une fonction bornée et décroissante sur ${\mathbb{R}}$, et qu'elle admet donc des limites finies en $-\infty$ et en $+\infty$. Montrer que si ces limites ne sont pas nulles, alors $b$ n'est pas bornée.

d)

Conclure.

3)

Montrer que $\bar X(n)$ est un estimateur minimax.

4)

On considère désormais le modèle statistique d'échantillonnage $({\Omega},{\cal A},\{{\mathbb{P}}_{\theta},{\theta}\in{\Theta}\})$ avec ${\Theta}={\mathbb{R}}$, associé à la famille de variables gaussiennes indépendantes $(X_n)_{n\geq1}$ de loi ${\cal N}({\theta},1)$, et on veut déterminer la robustesse de la famille d'estimateurs $(\bar X(n),n\geq1)$. Cette notion a été introduite pour caractériser des estimateurs peu sensibles à des modifications légères du modèle statistique de base.

Soient $(T_n)_{n\geq1}$ une suite d'estimateurs qui converge ${\mathbb{P}}_{\theta}$-p.s. vers ${\theta}$. Supposons qu'en réalité les variables $(X_n)_{n\geq1}$ ne soient pas exactement gaussiennes, mais suivent plutôt une loi du type

$${\mu}_{{\theta},t,{\nu}}=(1-t){\cal N}({\theta},1)+t{\nu}$$

avec ${\nu}$ mesure de probabilité inconnue et $t\in[0,1]$ ``proche'' de 0. Autrement dit, pour toute fonction borélienne bornée, quel que soit $i$,

$${\mathbb{E}}[f(X_i)]=(1-t)\int_{-\infty}^{+\infty}f(u)\frac{e^{-\frac{(u-{\theta})^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}du+t{\nu}(f)$$

On note ${\mathbb{P}}_{{\theta}}^{({\nu},t)}$ la loi correspondante sur ${\Omega}$. Si elle existe, on note $T_{\infty}({\theta},{\nu},t)$ la limite ${\mathbb{P}}_{\theta}^{({\nu},t)}$-p.s. de $(T_n)_{n\geq1}$. On dit que la suite d'estimateurs $(T_n)_{n\geq1}$ est robuste si et seulement si le taux d'accroissement $\frac{T_{\infty}({\theta},{\nu},t)-{\theta}}{t}$ est bornée uniformément sur l'ensemble des lois ${\nu}$ à support compact quand $t$ tend vers 0, ou, de façon équivalente et sous réserve de dérivabilité, si et seulement si

$$\sup_{x\in{\mathbb{R}}}\left\vert \frac{\partial{T_{\infty}}}{\partial t}({\theta},{\delta}_x,0)\right\vert<+\infty$$

avec ${\delta}_x$ la masse de Dirac en $x$.

a)

On suppose $T_n=\bar X(n)$. Montrer que $\bar X_\infty({\theta},\delta_x,t)$ existe quel que soit $x\in{\mathbb{R}}$ et $t\in[0,1]$, puis que $(\bar X(n))_{n\geq1}$ n'est pas robuste.

b)

Soit ${\phi}(x)$ la fonction de répartition de la loi gaussienne centrée réduite, et $Y$ une gaussienne centrée réduite indépendante de $X_1$ sous ${\mathbb{P}}_{\theta}$. Montrer que ${\phi}(X_1)={\mathbb{E}}_{{\mathbb{P}}_{\theta}}[1_{Y\leq X_1}\vert X_1]$ ${\mathbb{P}}_{\theta}$-p.s. En déduire

$${\theta}=\sqrt2{\phi}^{-1}\left({\mathbb{E}}_{{\mathbb{P}}_{\theta}}\left[{\phi}(X_1)\right]\right)$$

c)

A partir de l'égalité précédente, et à l'aide de la méthode de substitution, construire une nouvelle famille d'estimateurs de ${\theta}$, notée $(U_n)_{n\geq1}$, dont on montrera qu'elle est fortement consistante sous ${\mathbb{P}}_{\theta}$ et qu'elle converge ${\mathbb{P}}_{\theta}^{({\nu},t)}$-p.s. quels que soient ${\nu}$ et $t$.

d)

Montrer que $(U_n)_{n\geq1}$ est robuste.