Université René Descartes
UFR de Mathématiques et Informatique
EXAMEN DE STATISTIQUE
MAITRISE de MATHEMATIQUES et MAITRISE MASS
2ème Session - Année 2001-2002
Vendredi 13 Septembre 2002- 14h-17h
(Aucun document autre que le polycopié du cours n'est autorisé)

Exercice 1

On observe une suite $(X_{p})_{p \geq 1}$ de variables aléatoires réelles indépendantes de même loi normale ${\mathcal{N}}(\theta,\sigma^{2})$ , $\sigma^{2}$ étant connu et $\theta$ étant un paramètre réel inconnu.

On veut tester $H_{0}: \ \theta = \theta_{0}$ contre $H_{1}: \ \theta = \theta_{1}$ où $\theta_{0}$ et $\theta_{1}$ sont donnés, $\theta_{0} < \theta_{1}$ .

1. 1. $n \in \mathbb{N}^{*}$ étant fixé, donner , à l'aide de la fonction réciproque de la fonction de répartition de la loi ${\cal{N}}(0, 1)$, le test optimum au seuil $\alpha$ fondé sur l'observation du n-échantillon $(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n})$ . Quelle est sa puissance et comment varie-t-elle en fonction de la taille $n$ de l'échantillon à seuil $\alpha$ fixé ?

      Déterminer complètement le test et donner la valeur de sa puissance dans le cas où $\sigma^{2} = 1$, $\theta_{0} = 1$, $\theta_{1} = 1,5$ , $\alpha = 0,05$ et $n = 36$ puis $n = 100$.

   2. Donner , à l'aide de la fonction réciproque de la fonction de répartition de la loi ${\cal{N}}(0, 1)$, la valeur $n_{0}$ du plus petit des entiers $n$ pour lesquels le test optimum au seuil $\alpha$ de $H_{0}$ contre $H_{1}$ , fondé sur l'observation du n-échantillon $(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n})$, soit de puissance supérieure ou égale à $\beta$ fixé.

      Calculer $n_{0}$ dans le cas où $\sigma^{2} = 1$, $\theta_{0} = 1$, $\theta_{1} = 1,5$, $\alpha = 0,05$ et $\beta = 0,95$ ( on donne $16 \times (1,645)^{2} = 43,3$).

2. 1. On note $p_{\theta}$ la densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}$ de la loi ${\mathcal{N}}(\theta,\sigma^{2})$ et on pose :
      $$Z_{1} = \displaystyle \ln \frac{p_{\theta_{1}}(X_{1})}{p _{\theta_{0}}(X_{1})}$$
      Calculer $E_{\theta_{0}}(Z_{1})$ et $E_{\theta_{1}}(Z_{1})$.
   2. On considère le test séquentiel séquentiel du rapport de vraisemblance, fondé sur l'observation de la suite $(X_{p})_{p \geq 1}$, de niveau $\alpha$ et de puissance $\beta$ donnés. Soit $N$ le nombre d'observations effectuées. Donner des valeurs approchées de $E_{\theta_{0}}(N)$ et $E_{\theta_{1}}(N)$.

      Calculer ces valeurs approchées dans le cas où $\sigma^{2} = 1$, $\theta_{0} = 1$, $\theta_{1} = 1,5$ , $\alpha = 0,05$ et $\beta = 0,95$ ( on donne $7,2 \ln 19 = 21,2$ ). Comparer avec $n_{0}$ et conclure.

Exercice 2

On considère un n-échantillon $(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n})$ de la loi de densité $f_{\theta}$, par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}_{+}$, définie par :

$$\forall x \in \mathbb{R}_{+}, \quad f_{\theta}(x) = x \ \theta^{- \displaystyle \frac{x^2}{2}} \ \ln \theta$$

$\theta$ étant un paramètre inconnu appartenant à $]1, +\infty[$.

1. Donner la densité de la loi du n-échantillon et montrer que le modèle statistique considéré est exponentiel.

   Proposer une statistique exhaustive minimale pour $\theta \in ]1, +\infty[$.

2. On pose :
   $$T_{n}= \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$$
   Justifier que $T_{n}$ est un estimateur uniformément de variance minimum parmi les estimateurs sans biais (UVMB) et efficace de $$\frac{1}{\ln \theta}$$ .
3. Justifier que la suite $(T_{n})_{n \geq 1}$ est une suite d'estimateurs de $$\frac{1}{\ln \theta}$$ fortement consistante et asymptotiquement normale ; donner la variance de la loi limite de $\sqrt{n} (T_{n} - \displaystyle \frac{1}{\ln \theta} )$ en admettant que $E_{\theta}(X_{1}^{4}) = \displaystyle \frac{8}{(\ln \theta)^{2}}$.

4. Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance $\widehat{\theta_{n}}$ de $\theta$. Montrer qu'il est fortement consistant et asymptotiquement normal ; donner la variance de la loi limite de $\sqrt{n} ( \widehat{\theta_{n}} - \theta )$.
5. Calculer de deux faŤons l'information de Fisher apportée par le modèle statistique au sujet de $\theta$ et vérifier que $\widehat{\theta_{n}}$ est asymptotiquement efficace pour l'estimation de $\theta$.