Université René Descartes
UFR de Mathématiques et Informatique
EXAMEN DE STATISTIQUE
MAITRISE de MATHEMATIQUES et MAITRISE MASS
1ère Session - Année 2002-2003
30 Janvier 2003- 9h-12h
(Le sujet comporte 3 pages. Aucun document autre que le polycopié du cours n'est autorisé)

Exercice 1

Soit $X_{1}, X_{2}, \cdots , X_{n}$ des variables aléatoires réelles indépendantes telles que, pour $k = 1, 2 ,\cdots , n$, la loi de $X_{k}$ est la loi normale ${\mathcal{N}}(k \theta,1)$ o $\theta$ est un paramètre réel inconnu.

On pose $a_{n} = \sum_{k=1}^{n} k^{2}$ et on rappelle que $a_{n} = \displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

1. Montrer que le modèle statistique associé à $X= (X_{1}, X_{2}, \cdots , X_{n})$ est exponentiel et régulier.

   Justifier que $T_{n} = \displaystyle \frac{1}{a_{n}} \sum_{k=1}^{n} k X_{k}$ est une statistique exhaustive complète et minimale.

2. On veut estimer le paramètre $\theta$.
   1. Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance $\widehat{\theta}_{n}$ de $\theta$; donner sa loi et sa fonction de risque.

      Justifier que $\widehat{\theta}_{n}$ est une statistique régulière et un estimateur UVMB, efficace et faiblement consistant de $\theta$.

   2. Soit $m \in \mathbb{R}$ donné. Quelle est la loi a posteriori du paramètre $\theta$ sachant que $X_{1}= x_{1}, X_{2}= x_{2}, \cdots , X_{n}= x_{n}$ si la loi a priori est la loi normale ${\cal{N}}(m, 1)$ ? En déduire l'estimateur bayésien $\theta^{\star}_{n}$ associé ; donner sa loi et sa fonction de risque.
   3. Calculer les valeurs des fonctions de risque de $\widehat{\theta}_{n}$ et $\theta^{\star}_{n}$ en $\theta = m$. L'estimateur $\widehat{\theta}_{n}$ est-il optimal ?
3. On veut tester $H_{0}: \theta = \theta_{0}$ contre $H_{1}: \theta \not= \theta_{0}$ o $\theta_{0} \in \mathbb{R}$ est donné.

   Exprimer, à l'aide de la fonction de répartition de la loi ${\cal{N}}(0, 1)$, la fonction puissance du test déterministe $\varphi$ de région critique $[ \vert \widehat{\theta}_{n} - \theta_{0} \vert > c ]$ , $c \in \mathbb{R}_{+}^{\star}$. Montrer que ce test est UPPB à son niveau.

   Donner la valeur $c_{\alpha}$ de $c$ pour que ce test soit de niveau $\alpha$ ( on exprimera $c_{\alpha}$ à l'aide de la fonction réciproque de la fonction de répartition de la loi ${\cal{N}}(0, 1)$ ).

   Justifier que $] \widehat{\theta}_{n} - c_{\alpha} , \widehat{\theta}_{n} + c_{\alpha} [$ est un intervalle de confiance au niveau $1 - \alpha$ pour $\theta$.

   Dans le cas où $n=10$, donner la valeur de $c_{\alpha}$ pour $\alpha = 0,05$ ( on donne $\sqrt{385} = 19,62$).

Exercice 2

Soit $Y = (Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n})$ un vecteur aléatoire gaussien de matrice de covariance égale à $\sigma^{2} I_{n}$, $\sigma^{2} > 0$ étant inconnu.

On suppose que, pour $k = 1, 2 ,\cdots , n$, $Y_{k} = a + b x_{k} + c x_{k}^{2} + \epsilon_{k}$ , o $a$, $b$ et $c$ sont des paramètres réels inconnus, $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ des réels donnés tous distincts tels que $\sum_{k=1}^{n} x_{k} = 0$ et $\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{3} = 0$ et $(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \cdots, \epsilon_{n})$ un n-échantillon de la loi ${\cal{N}}(0, \sigma^{2})$.

On pose $t = \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}$ et $v = \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (x_{k}^{2} - t)^{2}$ .

1. On pose $\lambda = a + c \ t$ et $\beta = (\lambda, b, c)$.

   Montrer que l'on peut écrire, matriciellement, $E(Y) = X \beta$ où $X$ est une matrice que l'on déterminera.

   Calculer $^{t}X X$ et en déduire les estimateurs des moindres carrés de $\lambda$, $a$, $b$ et $c$.

   Donner l'estimateur de $\sigma^{2}$, noté $\widehat{\sigma}^{2}$, optimal dans la classe des estimateurs sans biais.

   Donner les lois des estimateurs précédents ( on donnera des expressions où les valeurs de $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ n'interviennent que par celles de $t$ et $v$).

2. On suppose, dans cette question, $c=0$. Déterminer les estimateurs des moindres carrés de $a$ et $b$.
3. Justifier que, pour le test de l'hypothèse $H_{0} : c=0$ contre l'hypothèse $H_{1} : c\not= 0$, la statistique du test de Fisher est égale à $$\frac{( \sum_{k=1}^{n} ( x_{k}^{2} - t ) \ Y_{k} )^{2}}{n \ v \ \widehat{\sigma}^{2}}$$ .

   Sous l'hypothèse $H_{0}$, donner la loi de cette statistique.