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Maîtrises Maths-MASS - Statistiques générales

Partiel du 26 novembre 2002

12h15 - 14h45

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Le sujet comporte deux pages.

Ex 1.Soit $(X_1,\ldots,X_n)$ un $n$-échantillon de variables de Poisson de paramètre de ${\theta}\in{\Theta}={\mathbb{R}}_+^*$ :

$$\forall i=1,\ldots,n,\ \ \forall k\in{\mathbb{N}},\ \ \P _{\theta}\left(X_i=k\right)=\frac{{\theta}^k}{k!}e^{-{\theta}}$$

On note $\bar X_n=\frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)$.

1. Préciser le modèle statistique associé à $(X_1,\ldots,X_n)$, et montrer que $\bar X_{n}$ est une statistique exhaustive, complète et minimale.
2. Montrer que le modèle statistique est régulier, et que $\bar X_{n}$ est une statistique régulière et un estimateur UVMB (uniformément de variance minimale parmi les estimateurs sans biais) et efficace de ${\theta}$. Calculer l'information de Fisher $I_n({\theta})$ du modèle.
3. Rappeler la valeur de ${\mathbb{E}}_{\theta}\left[X_1\right]$ et de $\mathop{\hbox{var}}\nolimits _{\theta}\left(X_1\right)$. En déduire, par la méthode de substitution, un estimateur de ${\theta}$ différent de $\bar X_n$.
4. On pose $T=(\bar X_n+\frac{1}{n})/(1+\frac{1}{n})$. Si l'on suppose que l'on a affaire à un modèle d'échantillonage, et que l'on peut faire tendre $n$ vers l'infini, montrer que $T$ est un estimateur fortement consistant de ${\theta}$. Calculer les fonctions de risque de $\bar X_n$ et de $T$. Sont-elles comparables ?
5. On suppose dans cette seule question que ${\Theta}=\left[0,1\right]$. Entre $\bar X_n$ et $T$, quel est le meilleur estimateur au sens du risque minimax ?
6. Calculer et comparer le risque bayésien de $\bar X_n$ et de $T$ relatif à la loi a priori ${\nu}$ sur ${\Theta}$, avec ${\nu}$ loi exponentielle de paramètre 1. Indication : $\int_0^{+\infty}x^ke^{-x}dx=k!$ $\forall k\in{\mathbb{N}}$.

Ex 2.Soit $(X_1,\ldots,X_n)$ un $n$-échantillon de variables aléatoires de loi de densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur ${\mathbb{R}}$

$$\forall x\in{\mathbb{R}},\ \ f_{\theta}(x)=e^{-(x-{\theta})}1_{x\geq{\theta}}$$

avec ${\theta}\in{\mathbb{R}}$.

1. Préciser le modèle statistique associé à $(X_1,\ldots,X_n)$, et montrer que $X_{(1)}=\min(X_1,\ldots,X_n)$ est une statistique exhaustive.
2. Calculer la densité de la loi de $X_{(1)}$. Montrer que $X_{(1)}$ est une statistique complète. En déduire qu'elle est minimale.
3. Calculer l'estimateur du maximum de vraisemblance de ${\theta}$.
4. Calculer ${\mathbb{E}}_{\theta}\left[X_{(1)}\right]$. En déduire l'estimateur UVMB de ${\theta}$.
5. Calculer ${\mathbb{E}}_{\theta}\left[\bar X_n\right]$, avec $\bar X_n=\frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)$. En déduire la valeur de ${\mathbb{E}}_{\theta}\left[\bar X_n\vert X_{(1)}\right]$.
6. On suppose désormais que l'on a affaire à un modèle d'échantillonage, et que l'on peut faire tendre $n$ vers l'infini. Montrer que $X_{(1)}$ est un estimateur faiblement consistant de ${\theta}$. A l'aide du lemme de Borel-Cantelli, montrer qu'il est aussi fortement consistant.
7. Montrer que $n(X_{(1)}-{\theta})$ converge en loi quand $n$ tend vers l'infini vers une loi que l'on déterminera. L'estimateur $X_{(1)}$ est-il asymptotiquement sans biais ?