Université René Descartes
UFR de Mathématiques et Informatique
EXAMEN DE STATISTIQUE
MAITRISE de MATHEMATIQUES et MAITRISE MASS
2ème Session - Année 2002-2003
10 septembre 2003- 14h-17h
Le sujet comporte 3 pages.
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Exercice 1

Soit $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{n}$ des variables aléatoires indépendantes de loi normale de même variance égale à 1. On suppose que leurs espérances vérifient $E(X_{i}) = \lambda$ et $E(Y_{i})= \mu$ , pour $i=1,2,\ldots,n$, $\lambda$ et $\mu$ étant deux réels inconnus.

On note $\overline{X_{n}}= \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_{k}$ et $\overline{Y_{n}}=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}Y_{k}$.

1. Donner la densité de la loi de $( X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{n} )$ par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^{2n}$.
2. Déterminer les estimateurs du maximun de vraisemblance de $\lambda$ et $\mu$.
3. Déterminer le test optimun de l'hypothèse $H_{0}$: $\lambda = 2$ et $\mu = 4$ contre l'hypothèse $H_{1}$: $\lambda = \mu = 3$ , au seuil $\alpha$.

   Dans le cas o $\alpha = 0,05$, donner la région critique et la puissance de ce test.

4. Déterminer le test du maximun de vraisemblance de l'hypothèse $H_{0}$: $\lambda = 2$ et $\mu = 4$ contre l'hypothèse $H_{1}$: $\lambda \not= 2$ ou $\mu \not= 4$ , au seuil $\alpha$.

   Vérifier que la région critique s'exprime en fonction de la variable aléatoire

   $$T_{n} = n (\overline{X_{n}} - 2)^{2} + n (\overline{Y_{n}} - 4)^{2}$$
   Quelle est la loi de cette variable aléatoire sous l'hypothèse $H_{0}$ ?

   Que conclut-on, au seuil $\alpha = 0,05$, si la valeur observée de $T_{n}$ est égale à 10 ?

Exercice 2

Soit $(U_{1}, U_{2}, \cdots, U_{n},V_{1}, V_{2}, \cdots, V_{n})$ un vecteur gaussien tel que $(U_{1}, U_{2}, \cdots, U_{n})$ soit un n-échantillon de la loi ${\cal{N}}(\beta_{1}, \sigma^{2})$ et $(V_{1}, V_{2}, \cdots, V_{n})$ un n-échantillon de la loi ${\cal{N}}(\beta_{2}, \sigma^{2})$ et que, pour $i=1,2,\ldots,n$, $Cov (U_{i} , V_{i}) = \rho$.

$\beta_{1}$ , $\beta_{2}$ et $\sigma^{2}$ sont inconnus, $\rho$ est connu et appartient à $]-1,1[$.

Pour $i=1,2,\ldots,n$, on pose :

$$X_{i} = \frac{U_{i} - V_{i}}{\sqrt {2(1-\rho)}} \quad , \quad Y_{i} = \frac{U_{i} + V_{i}}{\sqrt {2(1+\rho)}}$$

1. Donner les lois de $X_{i}$ et $Y_{i}$, $i=1,2,\ldots,n$. Vérifier que $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{n}$ sont des variables aléatoires indépendantes.

2. Justifier que le modèle statistique lié à l'observation de $Z = ( X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{n} )$ est linéaire et le décrire sous la forme matricielle habituelle $Z = A \beta + \epsilon$ en indiquant ce que sont ici $A$ , $\beta$ et $\epsilon$.

   Le modèle est-il régulier ?

Exercice 3

Soit $(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n})$ un n-échantillon de la loi binomiale $B(r, \theta)$, $r \in \mathbb{N}^{*}$ étant connu, $\theta$ étant un paramètre inconnu appartenant à $]0,1[$ :

$$\forall i \in \{1,2,\ldots,n \} \ , \ \forall k \in \{0,1,\ldots,... ..., \mathbb{P}_{\theta} (X_{i} = k) = C_{r}^{k} \ \theta^{k} (1-\theta )^{r-k}$$

On note $\overline{X_{n}}=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$.

1. Préciser le modèle statistique associé à $(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n})$. Est-il exponentiel ?

   Justifier que $\overline{X_{n}}$ est une statistique exhaustive, complète et minimale.

2. Déterminer l'estimateur du maximun de vraisemblance de $\theta$. On le note $S_{n}$. Montrer que c'est un estimateur du paramètre $\theta$ uniformément de variance minimum parmi les estimateurs sans biais (UVMB), efficace, fortement consistant et asymptotiquement normal.
3. Soit $a \geq 0$ et $b \geq 0$. On considère l'estimateur $T_{a,b,n} = \displaystyle \frac{\overline{X_{n}} + \frac{a}{n}}{r + \frac{b}{n}}$ .

   Calculer les fonctions de risque, pour l'estimation de $\theta$, de $T_{a,b,n}$ et $S_{n}$.

   Vérifier que, pour $a_{0}= \displaystyle \frac{\sqrt{nr}}{2}$ et $b_{0}= \sqrt{nr}$, la fonction de risque de $T_{a_{0},b_{0},n}$ est constante.

   $S_{n}$ est-il meilleur que $T_{a_{0},b_{0},n}$?