Université René Descartes
UFR de Mathématiques et Informatique
EXAMEN DE STATISTIQUE
MAITRISE de MATHEMATIQUES et MAITRISE MASS
1ère Session - Année 2003-2004
14 Janvier 2003- 9h-12h
Le sujet comporte 2 pages.
Aucun document autre que le polycopié du cours ou les tables statistiques n'est autorisé.

Exercice 1

Soit $(X_{1}, X_{2}, \cdots , X_{n})$ un n-échantillon de variables aléatoires de loi normale d'espérance nulle et de variance inconnue $\theta > 0$.

1. Préciser le modèle statistique associé et justifier qu'il est exponentiel et régulier.
2. On veut estimer $\sqrt {\theta }$.
   1. Calculer l'information de Fisher du modèle statistique considéré.

      Quelle serait la variance d'un estimateur efficace de $\sqrt {\theta }$ ? ( On rappelle que, si $Z$ est une variable aléatoire de loi ${\cal{N}}(0, 1)$, alors $Var (Z^2 ) = 2$)

   2. On considère l'estimateur $S_{n} = \displaystyle \sqrt {\frac{\Pi }{2}} \quad \frac{\sum_{k=1}^{n} \vert X_{k} \vert }{n}$ .

      Montrer que $S_{n}$ est un estimateur sans biais de $\sqrt {\theta }$. Est-il efficace ?

      Montrer que $(S_{n})_{n \geq 1}$ est une suite d'estimateurs de $\sqrt {\theta }$ asymptotiquement normale et donner la variance de la loi limite.

   3. Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance de $\theta$ ; en déduire l'estimateur du maximun de vraisemblance de $\sqrt {\theta }$ que l'on notera $T_{n}$.
   4. Justifier que $( \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_{k}^{2} )_{n \geq 1}$ est une suite d'estimateurs de $\theta$ asymptotiquement normale.

      En déduire que $(T_{n})_{n \geq 1}$ est une suite d'estimateurs de $\sqrt {\theta }$ asymptotiquement normale, donner la variance de la loi limite et la comparer à celle de la question (b).

      Sur la base de cette comparaison, vaut-il mieux estimer $\sqrt {\theta }$ par $S_{n}$ ou par $T_{n}$ ?

   5. On suppose que n est "grand", proposer un intervalle de confiance pour l'estimation de $\sqrt {\theta }$, au niveau $1- \alpha$ , en fonction de $T_{n}$.

Exercice 2

1. On considère la loi de Fisher à p,p degrés de liberté qui admet la densité, par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^{*}_{+}$,
   $$f(x) = C(p) \; \displaystyle \frac{x^{\frac{p}{2} - 1} }{(1 + x)^{p}}$$
   avec $C(p) = \displaystyle \frac{\Gamma (p)}{( \Gamma (\frac{p}{2}) )^{2}}$ .

   On observe une variable aléatoire réelle $Z$ dont la loi admet la densité, par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^{*}_{+}$,

   $$f_{\theta} (z) = \frac{1}{\theta} f(\frac{z}{\theta})$$
   où $\theta$ est un paramètre inconnu réel strictement positif.
   1. Montrer que la famille des densités $( f_{\theta})_{\theta > 0}$ est à rapport de vraisemblance croissant en la statistique $Z$.
   2. Justifier qu'il existe un test UPP pour tester l'hypothèse $H_{0} : \theta \leq 1$ contre l'hypothèse $H_{1} : \theta > 1$ au seuil $\alpha$ donné.

      Déterminer la région critique dans le cas où $p= 24$, $\alpha =0,05$.

2. On observe $X_{1} , X_{2} , \cdots , X_{n} , X_{1}^{\prime} , \cdots , X_{n}^{\prime}$ des variables aléatoires indépendantes telles que pour $k=1, 2, \cdots , n$ , la loi de $X_{k}$ est la loi ${\cal{N} } ( \mu ,\sigma ^2)$ et celle de $X_{k}^{\prime}$ est la loi ${\cal{N} } ( \mu^{\prime} , {\sigma^{\prime}}^2)$ où $\mu$ , $\mu^{\prime}$ , $\sigma^2$ , ${\sigma^{\prime}}^{2}$ sont des paramètres réels inconnus.

   On note $S^2$ et ${S^{\prime}}^2$ les variances empiriques corrigées des échantillons $(X_{1}, X_{2}, \cdots , X_{n})$ et $( X_{1}^{\prime} , X_{1}^{\prime} , \cdots , X_{n}^{\prime} )$ respectivement.

   1. Donner la loi de $$\frac{S^2 / \sigma ^2}{{S^{\prime}}^2 / {\sigma^{\prime}}^2}$$ .
   2. Justifier que si l'on pose $\theta = \displaystyle \frac{\sigma^2}{{\sigma^{\prime}}^{2}}$ , la loi de $T = \displaystyle \frac{S^2}{{S^{\prime}}^2}$ admet la densité $f_{\theta}$ pour une valeur de $p$ que l'on donnera.
   3. Déduire de ce qui précède un test UPP parmi les tests fondés sur l'observation de $T$ de l'hypothèse $H_{0} : \sigma^2 \leq {\sigma^{\prime}}^{2}$ contre l'hypothèse $H_{1} : \sigma^2 \ > {\sigma^{\prime}}^{2}$ au seuil $\alpha$ donné.

      Que conclut-on si n=25, si la valeur observée de $S^2$ est 3,3 et celle de ${S^{\prime}}^2$ est 1,5, au seuil $\alpha =0,05$ , puis au seuil $\alpha = 0,01$ ?