Université Paris 5 - René Descartes

UFR de Mathématiques et Informatique

45, rue des Saints-Pères 75270 Paris cedex 06

Corrigé du partiel du 26 mars 2001

Statistique des processus

MST ISASH - Maîtrise MASS

Exercice 1. Exercice bien réussi, noté sur 4 points.

1) Montrons que ${\phi}$ annule les composantes saisonnières.

Méthode 1. On remarque que la transformée en $z$ de ${\phi}$ peut se décomposer en

$${\phi}(z) = \frac{1}{3}(2+z+z^2-z^3)$$

$$= (1+z+z^2)\times\frac{2-z}{3}$$

Autrement dit, $(1+z+z^2)$ divise ${\phi}(z)$. Or, si $(1+z+\cdots+z^{q-1})$ divise la transformée en $z$ d'une moyenne mobile finie, cette moyenne mobile finie annule les composantes saisonnières de période $q$. On en déduit que ${\phi}$ annule les saisonnalités de période $3$.

Méthode 2. Soit $x^{\sigma}$ une composante saisonnière de période 3 ; $x^{\sigma}$ vérifie donc les propriétés suivantes : $\forall t\in{\mathbb{Z}}$,

$$x^{\sigma}_t+x^{\sigma}_{t-1}+x^{\sigma}_{t-2} =$$ 0

$$x^{\sigma}_t = x^{\sigma}_{t-3}$$

On en déduit :

$${\phi}(x^{\sigma})_t = \frac{1}{3}(2x^{\sigma}_t+x^{\sigma}_{t-1}+x^{\sigma}_{t-2}-x_{t-3}^{\sigma})$$

$$= \frac{1}{3}\bigl((2x^{\sigma}_t-x_{t-3}^{\sigma})+x^{\sigma}_{t-1}+x^{\sigma}_{t-2}\bigr)$$

$$= \frac{1}{3}(x^{\sigma}_t+x^{\sigma}_{t-1}+x^{\sigma}_{t-2})$$

$$=$$ 0

2) Montrons que ${\phi}$ conserve les tendances affines.

Méthode 1. Il suffit de vérifier que $(1-z)^2$ divise ${\phi}(z)-1$, autrement dit que $1$ en est racine double, ce qui revient à vérifier que $\bigl({\phi}(z)-1\bigr)\vert_{z=1}=\bigl({\phi}(z)-1\bigr)'\vert_{z=1}=0$. Or,

$$\bigl({\phi}(z)-1\bigr)\vert_{z=1} = \bigl(\frac{1}{3}(2+z+z^2-z^3)-1\bigr)\vert_{z=1}$$

$$= \frac{1}{3}(2+1+1-1)-1$$

$$=$$ 0

$$\bigl({\phi}(z)-1\bigr)'\vert_{z=1} = \bigl(\frac{1}{3}(1+2z-3z^2)\bigr)\vert_{z=1}$$

$$= \frac{1}{3}(1+2-3)$$

$$=$$ 0

Méthode 1 bis. On peut aussi effectuer directement la division, par puissances croissantes ou décroissantes, de ${\phi}(z)-1$ par $(1-z)^2$, et l'on trouve ainsi que

$${\phi}(z)-1=(1-z)^2\frac{z+1}{3}$$

Méthode 2. Soit $x_t={\alpha}+{\beta}t$ une tendance polynômiale quelconque de degré inférieur à 2. Montrons que ${\phi}(x)_t=x_t$ :

$${\phi}(x)_t = \frac{1}{3}(2x_t+x_{t-1}+x_{t-2}-x_{t-3})$$

$$= \frac{1}{3}\Bigl(2\bigl({\alpha}+{\beta}t\bigr)+\bigl({\alpha}+{\... ...bigr)+\bigl({\alpha}+{\beta}(t-2)\bigr)-\bigl({\alpha}+{\beta}(t-3)\bigr)\Bigr)$$

$$= \frac{1}{3}\bigl({\alpha}(2+1+1-1)+{\beta}(-1-2+3)+{\beta}t(2+1+1-1)$$

$$= \frac{1}{3}(3{\alpha}+3{\beta}t)$$

$$= x_t$$

Remarque : la somme des coefficients du filtre $\sum_{u=0}^4{\phi}_u=\frac{1}{3}(2+1+1-1)$ étant égale à $1$, on en déduit que le filtre ${\phi}$ conserve les constantes (Attention : comme le filtre n'est pas symétrique, cela n'implique pas qu'il conserve les tendances affines). En posant $y_t={\beta}t$, on peut alors simplifier les calculs précédents en écrivant

$${\phi}(x)_t={\phi}({\alpha}+y)_t={\phi}({\alpha})_t+{\phi}(y)_t={\alpha}+{\phi}(y)_t,$$

et ne reste plus alors à montrer que ${\phi}(y)_t=y_t$.

Exercice 2. Cet exercice, extrait des fiches de TD, a montré les difficultés très importantes des étudiants à manipuler correctement les indices dans des sommations. Noté sur 5 points.

1) La démonstration de la formule, vue en cours, consiste simplement en une suite de calculs :

$$\hat f_{\varepsilon}^{(N)}(0) = \frac{1}{2{\pi}}\sum_{\vert t\vert\leq N-1}\hat{\gamma}_{\varepsi... ...}\sum_{u=1}^{N-\vert t\vert}{\varepsilon}_u{\varepsilon}_{u+\vert t\vert}\Bigr)$$

$$= \frac{1}{2{\pi}}\Bigl(\frac{1}{N}\sum_{u=1}^{N}{\varepsilon}_u^2\... ...\frac{1}{N}\sum_{u=1}^{N-\vert t\vert}{\varepsilon}_u{\varepsilon}_{u+ t}\Bigr)$$

$$= \frac{1}{2{\pi}N}\Bigl(\sum_{\stackrel{\scriptstyle 1\leq u,v\leq... ...el{\scriptstyle 1\leq u,v\leq N}{ v-u=t}}{\varepsilon}_u{\varepsilon}_{v}\Bigr)$$

$$= \frac{1}{2{\pi}N}\Bigl(\sum_{\stackrel{\scriptstyle 1\leq u,v\leq... ...krel{\scriptstyle 1\leq u,v\leq N}{ u<v}}{\varepsilon}_u{\varepsilon}_{v}\Bigr)$$

$$= \frac{1}{2{\pi}N}\Bigl(\sum_{\stackrel{\scriptstyle 1\leq u,v\leq... ...{\scriptstyle 1\leq u,v\leq N}{ u\not=v}}{\varepsilon}_u{\varepsilon}_{v}\Bigr)$$

$$= \frac{1}{2{\pi}N}\sum_{1\leq u,v\leq N}{\varepsilon}_u{\varepsilo... ... u\leq N}{\varepsilon}_u\Bigr)\Bigl(\sum_{1\leq v\leq N}{\varepsilon}_{v}\Bigr)$$

$$= \frac{1}{2{\pi}N}\Bigl(\sum_{1\leq u\leq N}{\varepsilon}_u\Bigr)^2$$

2) La loi de $$\sum_{t=1}^N{\varepsilon}_t$$ est la loi d'une somme de gaussiennes centrées indépendantes ; c'est donc une gaussienne centrée de variance la somme des variances, ici égale à $N$. Donc, si l'on note $$U=\frac{1}{\sqrt{2{\pi}N}}\sum_{t=1}^N{\varepsilon}_t$$, alors $U$ est une gaussienne centrée de variance $$\frac{1}{2{\pi}}$$. Ce dont on déduit que

$${\mathbb{E}}\left[\hat f_{\varepsilon}^{(N)}(0)\right] = {\mathbb{E}}[U^2]=\mathop{\hbox{ var}}\nolimits (U)=\frac{1}{2{\pi}}$$

$$\mathop{\hbox{ var}}\nolimits \left(\hat f_{\varepsilon}^{(N)}(0)\right) = {\mathbb{E}}[\hat f_{\varepsilon}^{(N)}(0)^2]-{\mathbb{E}}[\hat f_{\varepsilon}^{(N)}(0)]^2$$

$$= {\mathbb{E}}[U^4]-{\mathbb{E}}[U^2]^2=3\frac{1}{(2{\pi})^2}-\bigl(\frac{1}{2{\pi}}\bigr)^2=\frac{2}{4{\pi}^2}$$

3) La densité spectrale de ${\varepsilon}$ vaut $$f_{\varepsilon}({\lambda})=\frac{\mathop{\hbox{ var}}\nolimits ({\varepsilon}_t)}{2{\pi}}=\frac{1}{2{\pi}}$$. On voit donc que ${\mathbb{E}}\left[\hat f_{\varepsilon}^{(N)}(0)\right]=f_{\varepsilon}(0)$, et que l'estimateur $\hat f_{\varepsilon}^{(N)}(0)$ est sans biais. On remarque par ailleurs que cet estimateur n'est pas convergent en moyenne quadratique, car sa variance ne tend pas vers 0 quand $N$ tend vers l'infini. En fait, $2{\pi}\hat f_{\varepsilon}^{(N)}(0)$ suit une loi du $\chi_2$ à un degré de liberté, quel que soit $N$.

Exercice 3. Exercice classique, assez correctement réussi et noté sur 7 points. Attention : un ARMA(1,2) n'est ni un AR(1), ni un MA(2), ni les deux à la fois.

1) Ce processus vérifie le modèle ARMA(1,2) suivant :

$${\phi}(B)(X)={\theta}(B)({\varepsilon})$$

avec ${\phi}(B)=I-0,8B$ et ${\theta}(B)=I+B-0,75B^2$. Ce modèle est causal et inversible si les racines des transformées en $z$ de ${\phi}(B)$ et ${\theta}(B)$ sont de module strictement supérieur à 1. Or ${\phi}(z)=1-0,8z$ a pour racine $1,25$ ; le modèle est donc causal. Mais ${\theta}(z)=1+z-0,75z^2=(1-0,5z)(1+1,5z)$ a pour racines $2$ et $-2/3$ ; le modèle n'est donc pas inversible.

2) On pose ${\varepsilon}'=(I+\frac{2}{3}B)^{-1}\circ(I+1,5B)({\varepsilon})$. Vérifions que ${\varepsilon}'$ est bien un bruit blanc faible. Pour cela, on calcule sa densité spectrale :

$$f_{\varepsilon'}({\lambda}) = \Bigl\vert\frac{1+1,5e^{i{\lambda}}}{1+\frac{2}{3}e^{i{\lambda}}}\Bigr\vert^2f_{\varepsilon}({\lambda})$$

$$= \Bigl\vert\frac{1}{\frac{2}{3}e^{i{\lambda}}}\Bigr\vert^2\Bigl\vert\frac{1+1,5e^{i{\lambda}}}{1,5e^{-i{\lambda}}+1}\Bigr\vert^2\frac{1}{2{\pi}}$$

$$= \frac{9}{4}\times\frac{1}{2{\pi}}$$

où l'on a utilisé le fait que $\vert e^{i{\lambda}}\vert=1$ et $\vert 1,5e^{-i{\lambda}}+1\vert=\vert 1+1,5e^{i{\lambda}}\vert$. La densité spectrale de ${\varepsilon}'$ est donc constante. Ceci implique que ${\varepsilon}'$ est un bruit blanc faible. Sa densité spectrale s'écrit alors $\mathop{\hbox{ var}}\nolimits ({\varepsilon}'_t)/2{\pi}$, ce dont on déduit que la variance de ${\varepsilon}_t'$ vaut $9/4$.

Montrons maintenant que ${\varepsilon}'$ est le bruit blanc d'innovation associé à $X$ : $\forall t\in{\mathbb{Z}}$,

$$(I-0,8B)(X)_t = (I-0,5B)\circ(I+1,5B)({\varepsilon})_t$$

$$= (I-0,5B)\circ(I+\frac{2}{3}B)\circ(I+\frac{2}{3}B)^{-1}\circ(1+1,5B){\varepsilon})_t$$

$$= (I-0,5B)\circ(I+\frac{2}{3}B)({\varepsilon}')_t$$

$$= {\theta}'(B)({\varepsilon}')_t$$

Comme ${\theta}'(B)$ est un filtre linéaire dont la transformée en $z$ s'annule en $2$ et en $-1,5$, de module plus grand que $1$, on conclut que le modèle ARMA(1,2) ${\phi}(B)(X)={\theta}'(B)({\varepsilon}')$ est causal et inversible, et de ce fait que ${\varepsilon}'$ est le bruit blanc d'innovation associé à $X$.

3) La représentation de Wold de $X$ consiste à exprimer $X_t$ comme somme de la série ${\varepsilon}'_t+\sum_{u\geq 1}{\psi}_u{\varepsilon'}_{t-u}$. La variance de ${\varepsilon}'$ étant déjà connue, ne reste qu'à préciser la valeur des coefficients $({\psi}_u,u\geq 1)$. Si l'on note ${\psi}(B)=I+\sum_{u\geq 1}{\psi}_uB^u$, alors ${\psi}(B)={\phi}(B)^{-1}\circ{\theta}'(B)$. Sa transformée en $z$ vaut donc :

$${\psi}(z) = 1+\sum_{u\geq 1}{\psi}_uz^u$$

$$= \frac{{\theta}'(z)}{{\phi}(z)}$$

$$= \frac{(1-0,5z)(1+\frac{2}{3}z)}{1-0,8z}$$

$$= \frac{13}{48}\frac{1}{1-0,8z}+\frac{35}{48}+\frac{5}{12}z$$

$$= 1+\frac{19}{30}z+\sum_{u\geq2}\frac{13}{48}(0,8)^uz^u$$

Il appert ainsi que

$${\psi}(B) = I+\frac{19}{30}B+\sum_{u\geq2}\frac{13}{48}(0,8)^uB^u$$

$$X_t = {\psi}(B)({\varepsilon}')_t$$

$$= I({\varepsilon}')_t+\frac{19}{30}B({\varepsilon}')_t+\sum_{u\geq2}\frac{13}{48}(0,8)^uB^u({\varepsilon}')_t$$

$$= {\varepsilon}'_t+\frac{19}{30}{\varepsilon}'_{t-1}+\sum_{u\geq2}\frac{13}{48}(0,8)^u{\varepsilon}'_{t-u}$$

4) La densité spectrale de $X$ vaut

$$f_X({\lambda}) = \Bigl\vert\frac{{\theta}'({\lambda})}{{\phi}({\lambda})}\Bigr\vert^2 f_{\varepsilon'}({\lambda})$$

$$= \Bigl\vert\frac{(1-0,5e^{i{\lambda}})(1+\frac{2}{3}e^{i{\lambda}})}{1-0,8e^{i{\lambda}}}\Bigr\vert^2\frac{9}{4}\frac{1}{2{\pi}}$$

$$= \frac{(1-0,5e^{i{\lambda}})(1-0,5e^{-i{\lambda}})(1+\frac{2}{3}e^... ...bda}})}{(1-0,8e^{i{\lambda}})(1-0,8e^{-i{\lambda}})}\frac{9}{4}\frac{1}{2{\pi}}$$

$$= \frac{(1,25-\cos{\lambda})(1+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}\cos{\lambda})}{1,64-1,6\cos{\lambda}}\frac{9}{8{\pi}}$$

$$= \frac{(1,25-\cos{\lambda})(13+4\cos{\lambda})}{8{\pi}(1,64-1,6\cos{\lambda})}$$

où l'on a noté ${\theta}'({\lambda})$ et ${\phi}({\lambda})$ les fonctions de transfert associées aux filtres ${\theta}'(B)$ et ${\phi}(B)$.

Exercice 4. Exercice le plus difficile de l'épreuve, noté sur 8 points, personne ne l'a traité en totalité. Là encore, des erreurs ont été presque systématiques dans la manipulation des indices de sommation à la question 2).

1) Le modèle est causal, comme tout modèle MA($q$), car $X_t$ s'exprime comme combinaison linéaire des variables ${\varepsilon}_s$ d'indice $s$ inférieur à $t$. Il est inversible car $1+{\theta}z$, la transformée en $z$ du filtre moyenne mobile MA(1) $I+{\theta}B$, a pour racine $-1/{\theta}$ de module plus grand que $1$. Le modèle caractérisant $X$ en fonction de ${\varepsilon}$ étant causal et inversible, on en déduit que ${\varepsilon}$ est le bruit blanc d'innovation de $X$ ; autrement dit, que ${\varepsilon}_i=X_i-P^\bot_{X_{i-1},X_{i-2},\ldots}(X_i)$. En conséquence, ${\varepsilon}_i$ est décorrélée avec toute variable $X_j$ avec $j<i$, en particulier avec $X_1,\ldots,X_{i-1}$. Comme $\tilde{\varepsilon}_j$ est combinaison affine de $X_1,\ldots,X_j$, on en déduit que ${\varepsilon}_i$ est aussi décorrélé avec $\tilde{\varepsilon}_j$ dès que $j$ est strictement inférieur à $i$. Attention : si ${\varepsilon}_i$ et $\tilde{\varepsilon}_i$ sont décorrélées avec $X_j$ pour $j<i$, c'est faux pour $j\geq i$. Bien des erreurs, notamment à la question 3) viennent de la confusion.

2) La formule demandée a été vue en cours, mais non démontrée. Pour le faire, calculons $\mathop{\hbox{ cov}}\nolimits (X_i,\tilde{\varepsilon}_{i-j})$ :

$$\mathop{\hbox{ cov}}\nolimits (X_i,\tilde{\varepsilon}_{i-j}) = \mathop{\hbox{ cov}}\nolimits \Bigl(\tilde{\varepsilon}_i+\sum_{k=1}^{i-1}{\psi}_{i,k}\tilde{\varepsilon}_{i-k},\tilde{\varepsilon}_{i-j}\Bigr)$$

$$= \mathop{\hbox{ cov}}\nolimits (\tilde{\varepsilon}_i, \tilde{\var... ...hop{\hbox{ cov}}\nolimits (\tilde{\varepsilon}_{i-k},\tilde{\varepsilon}_{i-j})$$

Or il a été établi en cours que les variables $(\tilde{\varepsilon}_l,l\geq1)$ sont décorrélées. On en déduit que dans la somme précédente tous les termes sont nuls sauf celui pour lequel $k=j$. D'où

$$\mathop{\hbox{ cov}}\nolimits (X_i,\tilde{\varepsilon}_{i-j})={\p... ...arepsilon}_{i-j},\tilde{\varepsilon}_{i-j})={\psi}_{i,j}\tilde{\sigma}_{i-j}^2$$

Il en résulte la formule attendue. Si, de plus, $j$ est supérieur ou égal à $2$, alors

$$\mathop{\hbox{ cov}}\nolimits (X_i,\tilde{\varepsilon}_{i-j}) = \mathop{\hbox{ cov}}\nolimits ({\varepsilon}_i+{\theta}{\varepsilon}_{i-1},\tilde{\varepsilon}_{i-j})$$

$$= \mathop{\hbox{ cov}}\nolimits ({\varepsilon}_i,\tilde{\varepsilon... ...a}\mathop{\hbox{ cov}}\nolimits ({\varepsilon}_{i-1},\tilde{\varepsilon}_{i-j})$$

$$= 0+0,$$

car d'après le 1), ${\varepsilon}_i$ et ${\varepsilon}_{i-1}$ sont décorrélés avec $\tilde{\varepsilon}_{i-j}$. Il s'ensuit que ${\psi}_{i,j}=0$ si $j\geq2$.

3) Les formules de récurrence sont celles qui apparaissent dans l'algorithme des innovations. Pour obtenir la première, on calcule $\mathop{\hbox{ cov}}\nolimits (X_{i+1},X_i)$ :

$${\gamma}_X(1) = \mathop{\hbox{ cov}}\nolimits (X_{i+1},X_i)$$

$$= \mathop{\hbox{ cov}}\nolimits (\tilde{\varepsilon}_{i+1}+{\psi}_{... ...e{\varepsilon}_{i},\tilde{\varepsilon}_{i}+{\psi}_{i}\tilde{\varepsilon}_{i-1})$$

$$= \mathop{\hbox{ cov}}\nolimits (\tilde{\varepsilon}_{i+1},\tilde{\... ...}_{i}\mathop{\hbox{ cov}}\nolimits ({\varepsilon}_{i}\tilde{\varepsilon}_{i-1})$$

$$= {\psi}_{i+1}\mathop{\hbox{ cov}}\nolimits (\tilde{\varepsilon}_{i},\tilde{\varepsilon}_{i})={\psi}_{i+1}\tilde{\sigma}_i^2$$

où l'on s'est encore servi du fait que les $(\tilde{\varepsilon}_k,k\geq1)$ sont décorrélés. La deuxième formule s'obtient en calculant la variance de $X_{i+1}$ :

$${\gamma}_X(0)=\mathop{\hbox{ var}}\nolimits (X_{i+1})=\mathop{\hb... ...{\varepsilon}_{i})=\tilde{\sigma}_{i+1}^2+{\psi}_{i+1,1}^2\tilde{\sigma}_{i}^2$$

D'où le résultat.

Montrons maintenant les formules explicites données pour ${\psi}_{i,1}$ et $\tilde{\sigma}^2_i$ par induction. Posons comme hypothèse de récurrence :

H($i$) :

$${\psi}_{j,1} = {\theta}\frac{1-{\theta}^{2(j-1)}}{1-{\theta}^{2j}}\ \ \forall j=2,\ldots,i$$

$$\tilde{\sigma}^2_j = {\sigma}^2_{\varepsilon}\frac{1-{\theta}^{2(j+1)}}{1-{\theta}^{2j}}\ \ \forall j=1,\ldots,i$$

Montrons que H($1$) est vraie : il suffit pour cela de vérifier que

$$\tilde{\sigma}^2_1={\sigma}^2_{\varepsilon}\frac{1-{\theta}^{4}}{1-{\theta}^{2}}$$

Or, en effet :

$$\tilde{\sigma}_{1}^2 = \mathop{\hbox{ var}}\nolimits (\tilde{\varepsilon}_{1})=\mathop{\... ...{\varepsilon}_1+{\theta}{\varepsilon}_0)={\sigma}^2_{\varepsilon}(1+{\theta}^2)$$

$${\sigma}^2_{\varepsilon}\frac{1-{\theta}^{2(i+1)}}{1-{\theta}^{2i}}\vert_{i=1} = {\sigma}^2_{\varepsilon}\frac{1-{\theta}^{4}}{1-{\theta}^{2}}={\s... ...eta}^{2})(1+{\theta}^2)}{1-{\theta}^{2}}={\sigma}^2_{\varepsilon}(1+{\theta}^2)$$

Montrons ensuite que H($i$) $\Longrightarrow$H($i+1$) pour tout $i\geq 1$. Supposons H($i$) vraie. Alors, d'après les formules de récurrence établies précédemment, et sachant que

$${\gamma}_X(1)=\mathop{\hbox{ cov}}\nolimits (X_1,X_0)=\mathop{\hb... ...}\nolimits ({\varepsilon}_0,{\varepsilon}_0)={\theta}{\sigma}^2_{\varepsilon},$$

on a

$${\psi}_{i+1,1} = \frac{{\gamma}_X(1)}{\tilde{\sigma}^2_i}$$

$$= \frac{{\theta}{\sigma}^2_{\varepsilon}}{{\sigma}^2_{\varepsilon}\frac{1-{\theta}^{2(i+1)}}{1-{\theta}^{2i}}}$$

$$= {\theta}\frac{1-{\theta}^{2i}}{1-{\theta}^{2(i+1)}}$$

$$\tilde{\sigma}^2_{i+1} = {\gamma}_X(0)-{\psi}_{i+1,1}^2\tilde{\sigma}^2_i$$

$$= {\sigma}^2_{\varepsilon}(1+{\theta}^2)-\Bigl({\theta}\frac{1-{\th... ...1)}}\Bigr)^2{\sigma}^2_{\varepsilon}\frac{1-{\theta}^{2(i+1)}}{1-{\theta}^{2i}}$$

$$= {\sigma}^2_{\varepsilon}(1+{\theta}^2)-{\sigma}^2_{\varepsilon}{\theta}^2\frac{1-{\theta}^{2i}}{1-{\theta}^{2(i+1)}}$$

$$= {\sigma}^2_{\varepsilon}\frac{(1+{\theta}^2)(1-{\theta}^{2(i+1)})-{\theta}^2(1-{\theta}^{2i})}{1-{\theta}^{2(i+1)}}$$

$$= {\sigma}^2_{\varepsilon}\frac{1-{\theta}^{2(i+2)}}{1-{\theta}^{2(i+1)}}$$

Ceci montre que H($i+1$) est vraie. On en déduit que H($n$) est vraie quel que soit $n\geq1$. Ce qui démontre les formules demandées.

4) Comme ${\theta}$ est de module strictement plus petit que $1$, la limite de ${\theta}^i$ vaut 0 quand $i$ tend vers l'infini. D'où

$$\lim_{i\rightarrow +\infty}\tilde{\sigma}_i^2 = {\sigma}^2_{\varepsilon}$$

$$\lim_{i\rightarrow +\infty}{\psi}_{i,1} = {\theta}$$

$$\lim_{i\rightarrow +\infty}{\psi}_{i,k} = \lim_{i\rightarrow +\infty}0=0\ \ \forall k\geq2$$

On en conclut que l'algorithme des innovations permet bien de retrouver les coefficients de la décomposition de Wold de $X$.