Université Paris 5 - René Descartes

UFR de Mathématiques et Informatique

, rue des Saints-Pères 75270 Paris cedex 06

Maîtrise MASS

Corrigé du partiel du 2 avril 2002

Question de cours : Le système d'équations de Yule-Walker est le suivant :

$$\left( \begin{array}{cccc} {\rho}_X(q)&{\rho}_X(q-1)&\dots&{... ...{\rho}_X(q+1)\\ \vdots\\ {\rho}_X(q+p) \end{array}\right)$$

Ex 1.

1. D'après un théorème du cours, si ${\phi}(B)$ arrête les saisonnalités de période $5$, alors il existe une moyenne mobile ${\psi}(B)$ telle que
   $${\phi}(B)={\psi}(B)\circ(I+B+B^2+B^3+B^4).$$
   Posons $\tilde {\psi}(B)=5{\psi}(B)\circ B^2$. Alors ${\psi}(B)=\tilde {\psi}(B)\circ\frac{1}{5}F^2$, et
   $${\phi}(B)=\tilde {\psi}(B)\circ\frac{1}{5}F^2\circ(I+B+B^2+B^3+B^4)=\tilde {\psi}(B)\circ\frac{1}{5}(F^2+F+I+B+B^2).$$
   Soient $p,q$ tels que $\tilde{\psi}(B)=\sum_{u=-q}^p\tilde{\psi}_uB^u$, avec $\tilde{\psi}_{-q},\tilde{\psi}_p\not=0$. Avec ces notations,
   

   $${\phi}(z) = \tilde{\psi}(z)\times\frac{1}{5}\left(z^{-2}+z^{-1}+1+z+z^2\right)$$

   $$= \frac{1}{5}\left(\tilde{\psi}_{-q}z^{-q-2}+\left(\tilde{\psi}_{-q}+\tilde{\psi}_{-q+1}\right)z^{-q-1}+\cdots+{\psi}_{p}z^{p+2}\right)$$

   
   
   Comme les puissances extrêmes de $z$ dans ${\phi}(z)$ sont au plus $-3$ et $3$, cela impose $q\leq 1$ et $p\leq1$. On en déduit que ${\phi}(B)$ peut s'écrire
   $${\phi}(B)=\left(\tilde{\psi}_{-1}F+\tilde{\psi}_{0}I+\tilde{\psi}_{1}B\right)\circ \frac{1}{5}\left(F^2+F+I+B+B^2\right),$$
   ce qui est la forme demandée. Il faut aussi que ${\phi}(B)$ conserve les tendances affines. Soit $x=(x_t=a+bt,t\in{\mathbb{Z}})$ une tendance affine quelconque. La moyenne mobile $\frac{1}{5}\left(F^2+F+I+B+B^2\right)$ est symétrique et la somme de ses coefficients est égale à $1$. Elle conserve donc les tendances affines. Il s'ensuit que
   $${\phi}(B)(x)=\left(\tilde{\psi}_{-1}F+\tilde{\psi}_{0}I+\tilde{\psi}_{1}B\right)(x)$$
   Or $\left(\tilde{\psi}_{-1}F+\tilde{\psi}_{0}I+\tilde{\psi}_{1}B\right)$ conserve les tendances affines si et seulement si
   

   $$\sum_{i=-1}^1\tilde{\psi}_i = 1$$

   $$\sum_{i=-1}^1i\tilde{\psi}_i =$$ 0

   
   
   i.e. $\tilde{\psi}_{-1}=\tilde{\psi}_1$ et $\tilde{\psi}_0=1-2\tilde{\psi}_{-1}$.

   En résumé, on a montré que ${\phi}(B)$ annule les composantes saisonnières de période 5 et conserve les tendances affines si et seulement s'il existe ${\alpha}\in{\mathbb{R}}$ tel que

   $${\phi}(B)=\left({\alpha}F+(1-2{\alpha})I+{\alpha}B\right)\circ \frac{1}{5}\left(F^2+F+I+B+B^2\right)$$

2. Le rapport de variance résiduelle de ${\phi}(B)$ est égal à $\sum_{i=-3}^3{\phi}_i^2$. On déduit de ce qui précède la valeur des ${\phi}_i$ en fonction de ${\alpha}$ :
   $${\phi}(z)= \frac{1}{5}\left({\alpha}z^{-3}+(1-{\alpha})z^{-2}+z^{-1}+1+z+(1-{\alpha})z^2+{\alpha}z^3\right)$$
   i.e.
   $${\phi}_{-3}={\phi}_3={\alpha},\ \ {\phi}_{-2}={\phi}_2=1-{\alpha},\ \ {\phi}_{-1}={\phi}_0={\phi}_1=1.$$
   Le rapport de variance résiduelle est donc égal à
   $$\frac{1}{25}\left(3+2{\alpha}^2+2\left(1-{\alpha}\right)^2\right)=\frac{1}{25}\left(4+ \left(1-2{\alpha}\right)^2\right)$$
   Il est minimal pour ${\alpha}=1/2$. La moyenne mobile qui minimise le rapport de variance résiduelle est
   $${\phi}^*(B)=\frac{1}{10}F^3+\frac{1}{10}F^2+\frac{1}{5}F+\frac{1}{5}I+\frac{1}{5}B+\frac{1}{10}B^2+\frac{1}{10}B^3$$

Ex 2.

1. On vérifie aisément par récurrence que

   $$\forall t\in{\mathbb{Z}},\ \ Y_t={\varepsilon}_t+{\phi}{\varepsil... ...\cdots+{\phi}^{t-1}{\varepsilon}_1=\sum_{u=0}^{t-1 }{\phi}^u{\varepsilon}_{t-u}$$ (1)

   
   
   Les variables $({\varepsilon}_t,t\in{\mathbb{Z}})$ sont décorrélées et de même variance car ${\varepsilon}$ est un bruit blanc faible. Il en résulte
   $$\forall t\in{\mathbb{Z}},\ \ \mathop{\hbox{var}}\nolimits \left(Y... ...limits \left({\varepsilon}_{t-u}\right)={\sigma}^2\sum_{u=0}^{t-1 }{\phi}^{2u}$$

2. Soit $t\geq0$ quelconque. Quel que soit $s=1,\ldots,t$, ${\varepsilon}_s$ est une combinaison linéaire de $Y_s$ et $Y_{s-1}$, et appartient donc à $V^2(Y_s,0\leq s\leq t)$. On en déduit l'inclusion de $V^2({\varepsilon}_s,1\leq s\leq t)$ dans $V^2(Y_s,0\leq s\leq t)$. De même, on déduit de (1) l'inclusion opposée $V^2(Y_s,0\leq s\leq t)\subset V^2({\varepsilon}_s,1\leq s\leq t)$. Les deux sous-espaces de Hilbert $V^2(Y_s,0\leq s\leq t)$ et $V^2({\varepsilon}_s,1\leq s\leq t)$ sont donc égaux quel que soit $t$.

   Calculons maintenant $P^\bot_{V^2(Y_s,0\leq s<t)}(Y_t)$ pour tout $t\geq 1$ quelconque :
   

   $$P^\bot_{V^2(Y_s,0\leq s<t)}(Y_t) = P^\bot_{V^2(Y_s,0\leq s<t)}({\varepsilon}_t)+P^\bot_{V^2(Y_s,0\leq s<t)}(Y_{t-1})$$

   $$= P^\bot_{V^2(Y_s,0\leq s<t)}({\varepsilon}_t)+Y_{t-1} Y_{t-1}\in V^2(Y_s,0\leq s<t)$$

   $$= P^\bot_{V^2({\varepsilon}_s,1\leq s<t)}({\varepsilon}_t)+Y_{t-1}$$

   $$= 0+Y_{t-1} {\varepsilon}_t\bot{\varepsilon}_s\ \ \forall s=1,\ldots,t-1$$

   
   
   Il en résulte que $Y_t-P^\bot_{V^2(Y_s,0\leq s<t)}(Y_t)$ est égal à $Y_t-Y_{t-1}$, autrement dit à ${\varepsilon}_t$ quel que soit $t\geq 1$. Le bruit blanc ${\varepsilon}$ est bien le processus d'innovation de $Y$, pour toute valeur de ${\phi}$.
3. Si $\vert{\phi}\vert$ est plus grand ou égal à $1$, alors la variance de $Y_t$ tend vers l'infini quand $t$ tend lui-même vers l'infini. Une condition nécessaire pour que le processus $Y$ soit asymptotiquement stationnaire est donc $\vert{\phi}\vert<1$. Si tel est le cas, considérons le filtre
   $${\psi}(B)=\sum_{u=0}^{+\infty}{\phi}^uB^u$$
   Il est clair qu'il s'agit bien d'un filtre linéaire car
   $$\Vert{\psi}\Vert_1=\sum_{u=0}^{+\infty}\vert{\phi}^u\vert=\frac{1}{1-\vert{\phi}\vert}<+\infty.$$
   On peut donc définir le processus faiblement stationnaire ${\psi}(B)({\varepsilon})$. Notons-le $X$. Il s'agit bien sûr du processus AR($1$) vérifiant $(1-{\phi}B)(X)={\varepsilon}$, i.e.
   $$\forall t\in{\mathbb{Z}},\ \ X_t={\varepsilon}_t+{\phi}X_{t-1}.$$
   Montrons que ${\mathbb{E}}\left[\left(Y_t-X_t\right)^2\right]$ tend vers 0 quand $t$ tend vers l'infini. En effet, quel que soit $t$,
   $$Y_t-X_t=\sum_{u=0}^{t-1 }{\phi}^u{\varepsilon}_{t-u}-\sum_{u=0}^{... ...}_{t-u}=-{\phi}^t \sum_{v=0}^{+\infty }{\phi}^v{\varepsilon}_{-v}=-{\phi}^tX_0$$
   Comme d'habitude, la convergence de toutes ces séries est à comprendre au sens de la norme hilbertienne. On en déduit
   $${\mathbb{E}}\left[\left(Y_t-X_t\right)^2\right]={\phi}^{2t}{\mathbb{E}}\left[X_0^2\right]={\phi}^{2t}{\gamma}_X(0)$$
   Comme $\vert{\phi}\vert$ est strictement plus petit que $1$, il s'ensuit que la limite de ${\mathbb{E}}\left[\left(Y_t-X_t\right)^2\right]$ est bien nulle quand $t$ tend vers $+\infty$. On a ainsi montré que $Y$ est asymptotiquement stationnaire sous la seule condition $\vert{\phi}\vert<1$.

Ex 3.

1. Notons d'abord que $X+X'$ est bien un processus du second ordre. Calculons-en la fonction moyenne et la fonction d'autocovariance :
   

   $${\mu}_{X+X'}(t) = {\mathbb{E}}[X_t+X'_t]={\mu}_X+{\mu}_{X'}$$

   $${\gamma}_{X+X'}(s,t) = \mathop{\hbox{cov}}\nolimits \left(X_s+X'_s,X_t+X'_t)\right)$$

   $$= \mathop{\hbox{cov}}\nolimits \left(X_s,X_t\right)+\mathop{\hbox{cov}}\nolimits \left(X'_s,X'_t\right) \mbox{ car $X$\ et $X'$\ sont d\'ecorr\'el\'es}$$

   $$= {\gamma}_X(\vert t-s\vert)+{\gamma}_{X'}(\vert t-s\vert)$$

   
   
   en ayant noté ${\mu}_X$, ${\mu}_{X'}$ les moyennes de $X$ et $X'$ et ${\gamma}_X$, ${\gamma}_{X'}$ leurs fonctions d'autocovariance. La moyenne du processus $X+X'$ est donc constante, et sa fonction d'autocovariance est invariante par translation temporelle :
   

   $$\forall s,t,u\in{\mathbb{Z}},\hskip1cm$$

   $${\gamma}_{X+X'}(s+u,t+u) = {\gamma}_X(\vert t+u-s-u\vert)+{\gamma}_{X'}(\vert t+u-s-u\vert)$$

   $$= {\gamma}_X(\vert t-s\vert)+{\gamma}_{X'}(\vert t-s\vert)$$

   $$= {\gamma}_{X+X'}(s,t)$$

   
   
   Le processus $X+X'$ est donc faiblement stationnaire, et on note plus simplement sa fonction d'autocorrélation ${\gamma}_{X+X'}(n)={\gamma}_X(n)+{\gamma}_{X'}(n)$, pour tout $n\in{\mathbb{N}}$.
2. Comme $X$ est un processus MA($q$), d'après un théorème vu en cours, sa fonction d'autocorrélation et sa fonction d'autocovariance s'annulent à partir du rang $q+1$ inclus. De même, la fonction d'autocovariance de $X'$ s'annule à partir du rang $q'+1$ inclus. D'où il s'ensuit que pour tout $n>\max(q,q')$, alors
   $${\rho}_{X+X'}(n)=\frac{{\gamma}_{X+X'}(n)}{{\gamma}_{X+X'}(0)}=\frac{{\gamma}_{X}(n)+{\gamma}_{X'}(n)}{{\gamma}_{X+X'}(0)}=0$$
   Or, toujours d'après le même théorème, un processus faiblement stationnaire dont la fonction d'autocorrélation s'annule à partir d'un rang $m$ donné est un processus MA d'ordre inférieur ou égal à $m-1$. On en déduit que $X+X'$ est un processus MA d'ordre inférieur ou égal à $\max(q,q')$.
3. Que vaut ${\phi}(B)\circ{\phi}'(B)(X+X')$ ?
   

   $${\phi}(B)\circ{\phi}'(B)(X+X') = {\phi}'(B)\circ{\phi}(B)(X)+{\phi}(B)\circ{\phi}'(B)(X')$$ car les filtres commutent et sont linéaires

   $$= {\phi}'(B)\circ{\theta}(B)({\varepsilon})+{\phi}(B)\circ{\theta'}(B)({\varepsilon}')$$

   
   
   Le filtre ${\phi}'(B)\circ{\theta}(B)=({\phi}'*{\theta})(B)$ a pour transformée en $z$
   

   $$({\phi}'*{\theta})(z) = {\phi}'(z){\theta})(z)=(1+{\phi}'_1z+\cdots+{\phi}'_{p'}z^{p'})(1+{\theta}_1z+\cdots+{\theta}_qz^q)$$

   $$= 1+({\phi}'_1+{\theta}_1)z+\cdots+{\phi}'_{p'}{\theta}_qz^{p'+q}$$

   
   
   Ce filtre est donc égal à $I+({\phi}'_1+{\theta}_1)B+\cdots+{\phi}'_{p'}{\theta}_qB^{p'+q}$, et ${\phi}'(B)\circ{\theta}(B)({\varepsilon})$ est donc un processus MA d'ordre $p'q$. De même, ${\phi}(B)\circ{\theta'}(B)({\varepsilon}')$ est un processus MA d'ordre $pq'$, décorrélé avec le précédent. D'après la deuxième question, la somme de ces deux processus est un MA d'ordre $m$ inférieur ou égal à $\max(pq',p'q)$. Soit donc ${\varepsilon}''$ bruit blanc faible et ${\theta}''_1,\ldots,{\theta}'_m$ tels que
   $${\phi}'(B)\circ{\theta}(B)({\varepsilon})+{\phi}(B)\circ{\theta'}... ...'_1B+\cdots+{\theta}''_{m}B^m)({\varepsilon}'')={\theta}''(B)({\varepsilon}'')$$
   D'autre part, la transformée en $z$ du filtre ${\phi}(B)\circ{\phi}'(B)$ est ${\phi}(z){\phi}'(z)$, qui n'a pas de racine de module $1$, car ni ${\phi}(z)$ ni ${\phi}'(z)$ n'en ont, les filtres ${\phi}(B)$ et ${\phi}'(B)$ étant par hypothèse inversibles. Donc ${\phi}(B)\circ{\phi}'(B)$ est un filtre inversible. Il s'ensuit que le processus $X+X'$ est le processus faiblement stationnaire qui vérifie l'équation ARMA
   $$({\phi}*{\phi}')(B)(X)={\theta}''(B)({\varepsilon}'').$$
   Comme le degré du polynôme $({\phi}*{\phi}')(z)$ est $pp'$, $X+X'$ est un processus ARMA($p'',q'')$ avec $p''\leq pp'$ et $q''\leq m\leq\max(q,q')$ (les ordres peuvent être inférieurs car il peut y avoir des simplifications si $({\phi}*{\phi}')(z)$ et ${\theta}''(z)$ ont des racines communes).

Ex 4.

1. Soit $X$ faiblement stationnaire, ${\mu}_X$ sa moyenne et ${\gamma}_X$ sa fonction d'autocovariance. Alors, quels que soient $m<n$, l'espérance de $(X_m,X_{m+1},\ldots,X_{n})$ et $(X_n,X_{n-1},\ldots,X_m)$ est le vecteur ${\mu}_X(1,\ldots,1)$ ; calculons leur matrice de covariance :
   

   $${\Gamma}_{(X_m,X_{m+1},\ldots,X_{n})} = \left(\mathop{\hbox{cov}}\nolimits (X_{m+i},X_{m+j})\right)_{0\leq i,j\leq n-m}=\left({\gamma}_X(\vert j-i\vert\right)_{0\leq i,j\leq n-m}$$

   $${\Gamma}_{(X_n,X_{n-1},\ldots,X_m)} = \left(\mathop{\hbox{cov}}\nolimits (X_{n-i},X_{n-j})\right)_{0\leq i,j\leq n-m}=\left({\gamma}_X(\vert j-i\vert\right)_{0\leq i,j\leq n-m}$$

   
   
   Les vecteurs aléatoires $(X_m,X_{m+1},\ldots,X_{n})$ et $(X_n,X_{n-1},\ldots,X_m)$ ont donc même espérance et même matrice de covariance. Ceci étant vrai pour tous $m<n$, on montre ainsi que $X$ est faiblement réversible.
2. Si $X$ est un processus stationnaire gaussien, alors il est faiblement stationnaire et donc faiblement réversible. Soient $m<n$ quelconques ; les vecteurs aléatoires $(X_m,X_{m+1},\ldots,X_{n})$ et $(X_n,X_{n-1},\ldots,X_m)$ sont donc des vecteurs gaussiens de même espérance et même matrice de covariance ; or la loi d'un vecteur gaussien est entièrement déterminée par son espérance et sa matrice de covariance ; les vecteurs $(X_m,X_{m+1},\ldots,X_{n})$ et $(X_n,X_{n-1},\ldots,X_m)$ ont donc même loi. On a ainsi montré que $X$ est réversible.
3. 1. La matrice de transition de la chaîne de Markov est
      $$P=\left( \begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 1&0&0 \end{array}\right)$$
      La probabilité ${\nu}$ est une mesure invariante de la chaîne de Markov si et seulement si $N=\left({\nu}\left(\left\{0\right\}\right),{\nu}\left(\left\{1\right\}\right),{\nu}\left(\left\{2\right\}\right)\right)=\left(1/3,1/3,1/3\right)$ vérifie $NP=N$, ce qui est, à l'évidence, le cas.
   2. Soient $s,t,u \in{\mathbb{Z}}$ quelconques, avec $s\leq t$. Montrons que $(X_s,\ldots,X_t)$ a même loi que $(X_{s+u},\ldots,X_{t+u})$. Il suffit de vérifier que pour tout $t-s+1$-uplet $(e_0,\ldots,e_{t-s})\in E^{t-s+1}$, alors
      $$\P\left((X_s,\ldots,X_t)=(e_0,\ldots,e_{t-s})\right)=\P\left((X_{s+u},\ldots,X_{t+u})=(e_0,\ldots,e_{t-s})\right)$$
      En effet,
      $$\P\left((X_{s+u},\ldots,X_{t+u})=(e_0,\ldots,e_{t-s})\right)={\nu}(\{e_0\})p(e_0,e_1)\cdots p(e_{t-s-1},e_{t-s})$$
      Cette probabilité ne dépend pas de $u$, ce qui démontre le résultat.
   3. Il suffit d'un contre-exemple pour montrer que $X$ n'est pas réversible. Posons $m=0$ et $n=1$. Alors
      $$\P\left((X_0,X_1)=(0,1)\right)={\nu}\left(\left\{0\right\}\right)p(0,1)=\frac{1}{3}\$$    et $$\ \P\left(\left(X_1,X_0\right)=(0,1)\right)={\nu}\left(\left\{0\right\}\right)p(1,0)=0$$
      La loi de $(X_0,X_1)$ est donc différente de $(X_1,X_0)$, ce qui prouve que $X$ n'est pas réversible.