$\parbox{10cm}{\scriptsize Universit\'e de Paris 5 -- Ren\'e Descarte... ...ematiques et Informatique}\\ 45, rue des Saints-P\\lq eres 75270 Paris cedex 06 }$

Maîtrise MASS - Statistique des processus

Examen du 4 juin 2002

14h - 17h

Les documents et les calculatrices sont autorisés.

Le sujet comporte deux pages.

Ex 1.On considère $(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ une famille de variables de Bernouilli indépendantes et de paramètre $1/2$, et soit $f$ une fonction définie sur $\{0,1\}^2$ à valeurs réelles : on note

$$f(0,0)=a,\ \ f(0,1)=b,\ \ f(1,0)=c,\ \ f(1,1)=d$$

On définit pour tout $t\in{\mathbb{Z}}$ $Y_t=f(X_t,X_{t-1})$.

1. Montrer que $(Y_t,t\in{\mathbb{Z}})$ est un processus strictement stationnaire.
2. Déterminer $a,b,c$ et $d$ de sorte que $Y=(Y_t,t\in{\mathbb{Z}})$ soit un bruit blanc faible, mais pas un bruit blanc fort.

Ex 2.Soit $X$ un processus ARMA(1,1) vérifiant

$$\forall t\in{\mathbb{Z}},\ \ X_t-2X_{t-1}={\varepsilon}_t+3{\varepsilon}_{t-1}$$

avec ${\varepsilon}$ un bruit blanc de variance $1$.

1. Déterminer et représenter graphiquement la densité spectrale de $X$.
2. Parmi les trois séries suivantes (m1, m2, m3), déterminer laquelle est une réalisation du processus $X$, en justifiant le choix :
   

3. Donner de $X$ une représentation ARMA causale et inversible.
4. Déterminer sa représentation de Wold.
5. Calculer sa fonction d'autocorrélation ${\rho}_X$.
6. Vérifier que
   $$\det\left( \begin{array}{cc} {\rho}_X(2)&\rho_X(1)\\ {\rho}_X(3)&\rho_X(2) \end{array}\right)=0$$
   Puis justifier ce résultat sans calcul.
7. On pose $\tilde {\varepsilon}_t=X_t-P^\bot_{V^2(X_1,\ldots,X_{t-1})}(X_t)$ pour $t>1$ et $\tilde {\varepsilon}_1=X_1$. Montrer que pour tout $t>1$
   $$X_t-\frac{1}{2}X_{t-1}=\tilde{\varepsilon}_t+\frac{1}{3{\delta}_{t-1}}\tilde{\varepsilon}_{t-1}$$
   avec
   

   $${\delta}_1 = \frac{52}{27}$$

   $${\delta}_t = \frac{9{\delta}_1\left(1-9^{-t}\right)-\left(1-9^{-t+1}\right)}{9{\delta}_1\left(1-9^{-t+1}\right)-\left(1-9^{-t+2}\right)}$$

   
   

8. On suppose connus $X_1,\ldots,X_N$, et on note $\check X_{N+h}=P^\bot_{V^2(X_1,\ldots,X_N)}(X_{N+h})$ le meilleur prédicteur linéaire de $X_{N+h}$ (avec $h\geq1$). Calculer l'erreur de prédiction pour $h=1,2$, puis, en supposant $N$ grand et $\check X_{N+h}\simeq P^\bot_{V^2(X_t,t\leq N)}(X_{N+h})$, en donner une approximation pour $h$ quelconque.

Ex 3.Soit $Y=(Y_t,t=1,\ldots,N)$ le processus du second ordre vérifiant le modèle suivant

$$Y_t = m_1+X_t\ \ \forall t=1,\ldots,T$$

$$Y_t = m_2+X_t\ \ \forall t=T+1,\ldots,N$$

avec $X$ processus stationnaire. Ce modèle est dit avec intervention, car il permet de modéliser l'effet d'une perturbation extérieure au temps $T$ (chute de la Bourse, raz-de-marée,...).

1. On suppose que $X$ est un bruit blanc gaussien. Déterminer, en fonction de $Y_1,\ldots,Y_N$, les estimateurs du maximum de vraisemblance de $m_1$ et $m_2$, et calculer leurs moyennes, leurs variances, et leur covariance.
2. On suppose désormais que $X$ est un processus auto-régressif d'ordre $1$ :
   $$X_t+{\theta}X_{t-1}={\varepsilon}_t$$
   avec $\vert{\theta}\vert<1$ et ${\varepsilon}$ bruit blanc gaussien de variance ${\sigma}^2$. On pose $\tilde{\varepsilon}_t=X_t-P_{V^2(X_1,\ldots,X_{t-1})}^\bot(X_t)$ pour tout $t>1$, et $\tilde {\varepsilon}_1=X_1$. Montrer que $\tilde{\varepsilon}_t={\varepsilon}_t$ pour tout $t>1$.
3. Calculer ${\delta}_t={\mathbb{E}}[\tilde{\varepsilon}_t^2]/{{\sigma}}^2$, et en déduire la densité de la loi de $(\tilde{\varepsilon}_t,t=1,\ldots,N)$.
4. Grâce à des changements de variables, déterminer la densité de la loi de $(X_t,t=1,\ldots,N)$, puis de $(Y_t,t=1,\ldots,N)$.
5. En supposant ${\theta}$ connu, déterminer, en fonction de $(Y_1,\ldots,Y_N)$, les estimateurs du maximum de vraisemblance de $m_1$ et $m_2$ et calculer leurs moyennes.