Université Paris 5 - René Descartes

UFR de Mathématiques et Informatique

, rue des Saints-Pères 75270 Paris cedex 06

Maîtrise MASS

Partiel du 2 avril 2002

15h30 - 17h30

Les documents, calculatrices et téléphones portables ne sont pas autorisés.

Le sujet comporte deux pages.

$B$ désigne l'opérateur retard $B(x)_t=x_{t-1}$, $F=B^{-1}$ l'opérateur avance, et l'on note

$$B^p=\left\{ \begin{array}{cl} B^{\circ p}&\mbox{si }p>0\\ I&\mbox{si }p=0\\ F^{\circ -p}&\mbox{si }p<0 \end{array}\right.$$

Question de cours : Soit $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ un processus ARMA($p,q$) tel que

$$\forall t\in{\mathbb{Z}},\ \ X_t+{\phi}_1X_{t-1}+\cdots+{\phi}_pX... ...repsilon}_t+{\theta}_1{\varepsilon}_{t-1}+\cdots+{\theta}_q{\varepsilon}_{t-q}$$

avec ${\varepsilon}$ bruit blanc. Donner le système d'équations, dit de Yule-Walker, qui permet de calculer $({\phi}_1,\ldots,{\phi}_p)$ en fonction de l'autocorrélation de $X$.

Ex 1.On souhaite construire une moyenne mobile ${\phi}(B)$ de la forme

$${\phi}(B)=\sum_{i=-3}^3{\phi}_iB^i$$

qui annule les composantes saisonnières de période 5 et qui conserve les tendances affines.

1. Montrer qu'un tel filtre peut s'écrire comme le produit de compostion suivant :
   $${\phi}(B)=\left({\alpha}F+{\beta}I+{\gamma}B\right)\circ \frac{1}{5}\left(F^2+F+I+B+B^2\right)$$
   Quelles conditions doit vérifier le triplet $({\alpha},{\beta},{\gamma})$ ?
2. Parmi les moyennes mobiles décrites à la question précédente, déterminer celle qui minimise le rapport de variance résiduelle.

Ex 2.On considère le processus $Y=(Y_t,t\in{\mathbb{N}})$ défini par :

$$\left\{ \begin{array}{l} Y_0=0\\ Y_{t}={\varepsilon}_t+{\phi}Y_{t-1}\ \ \forall t\geq1 \end{array}\right.$$

avec ${\phi}\in{\mathbb{R}}$ et ${\varepsilon}=\left({\varepsilon}_t,t\in{\mathbb{Z}}\right)$ un bruit blanc faible de variance ${\sigma}^2\not=0$.

1. Calculer la variance de $Y_t$, pour tout $t\in{\mathbb{N}}$.
2. A quelle condition sur ${\phi}$ le bruit blanc ${\varepsilon}$ est-il le processus d'innovation associé à $Y$ (i.e. ${\varepsilon}_t=Y_t-P^\bot_{V^2(Y_s,0\leq s<t)}(Y_t)$ $\forall t\geq1$) ?
3. A quelle condition sur ${\phi}$ le processus $Y$ est-il asymptotiquement faiblement stationnaire, i.e. il existe $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ faiblement stationnaire tel que
   $$\lim_{t\rightarrow +\infty}{\mathbb{E}}\left[\left(Y_t-X_t\right)^2\right]=0$$

Ex 3.Soient ${\varepsilon}=({\varepsilon}_t,t\in{\mathbb{Z}})$ et ${\varepsilon}'=({\varepsilon}'_t,t\in{\mathbb{Z}})$ deux bruits blancs décorrélés.

1. On considère deux processus faiblement stationnaires décorrélés $X$ et $X'$. Montrer que $X+X'$ est faiblement stationnaire.
2. On suppose que $X$ et $X'$ sont de type MA($q$) et MA($q'$), vérifiant $X={\theta}(B)({\varepsilon})$ et $X'={\theta'}(B)({\varepsilon}')$, avec
   

   $${\theta}(B) = I+{\theta}_1B+\cdots+{\theta}_qB^q$$

   $${\theta'}(B) = I+{\theta'}_1B+\cdots+{\theta'}_{q'}B^{q'}$$

   
   
   Montrer que $X+X'=(X_t+X'_t,t\in{\mathbb{Z}})$ est un processus MA d'ordre au plus $\max(q,q')$. Indication : on pourra étudier le comportement de la fonction d'autocorrélation de $X+X'$.
3. On suppose maintenant que $X$ et $X'$ sont de type ARMA($p,q$) et ARMA($p',q'$), vérifiant ${\phi}(B)(X)={\theta}(B)({\varepsilon})$ et ${\phi'}(B)(X')={\theta'}(B)({\varepsilon'})$, avec
   

   $${\phi}(B) = I+{\phi}_1B+\cdots+{\phi}_{p}B^p$$

   $${\phi'}(B) = I+{\phi'}_1B+\cdots+{\phi'}_{p'}B^{p'}$$

   
   
   Montrer que le processus $X+X'=(X_t+X'_t,t\in{\mathbb{Z}})$ est un processus ARMA($p'',q''$) avec $p''\leq pp'$ et $q''\leq\max(pq',p'q)$. Indication : on pourra étudier le processus ${\phi}(B)\circ{\phi}'(B)(X+X')$.

Ex 4.Soit $X=(X_t,t\in{\mathbb{Z}})$ un processus du second ordre. Il est dit réversible (resp. faiblement réversible) si et seulement si, pour tous entiers relatifs $m<n$, les vecteurs aléatoires $(X_m,X_{m+1},\ldots,X_{n})$ et $(X_n,X_{n-1},\ldots,X_m)$ ont même loi (resp. même vecteur moyenne et même matrice de covariance).

1. Montrer que si $X$ est faiblement stationnaire, alors il est faiblement réversible.
2. Montrer que si $X$ est un processus stationnaire gaussien, alors il est réversible.
3. Soit $E=\{0,1,2\}$ et $X$ la chaîne de Markov sur $E$ telle que pour tout $t\in{\mathbb{Z}}$, on ait
   $${\nu}\left(\left\{0\right\}\right)={\nu}\left(\left\{1\right\}\right)={\nu}\left(\left\{2\right\}\right)=1/3$$
   et
   

   $$p(0,1)=p(1,2)=p(2,0)=1$$

   $$p(i,j)=0$$

   
   
   en notant ${\nu}\left(\left\{i\right\}\right)=\P (X_t=i)$ et $p(i,j)=\P\left(X_{t+1}=j\vert X_t=i\right)$.
   1. Vérifier que la loi ${\nu}$ est bien une probabilité invariante de la chaîne de Markov.
   2. Montrer que $X$ est stationnaire.
   3. Montrer qu'il n'est pas réversible.