$\parbox{10cm}{\scriptsize Universit\'e de Paris 5 -- Ren\'e Descart... ...matiques et Informatique}\ 45, rue des Saints-P\\lq eres 75270 Paris cedex 06 }$

Statistique des Processus - Maîtrise MASS

Examen du 21 mai 2004

9h - 12h

Les documents sont autorisés.

Dans tout le sujet, $B$ désigne l'opérateur retard.

Le sujet comporte trois pages.

Ex 1.Pour des variables aléatoires possédant des moments d'ordre supérieur à 2, on peut généraliser les notions de moyenne et de variance/covariance, en définissant les cumulants. Plus précisément, soit $k\geq1$ un entier, et $X_1,\ldots,X_k$ des variables aléatoires telles que ${\mathbb{E}}\left[\left\vert X_i\right\vert^k \right]<+\infty$ pour tout $i$ ; on pose

$$C^{(k)}\left(X_1,\ldots,X_k\right)=\sum_{p=1}^k\left(-1\right)^{p... ...t[\prod_{j\in U_1}X_j\right]\cdots{\mathbb{E}}\left[\prod_{j\in U_p}X_j\right]$$

avec ${\cal P}(k)$ l'ensemble des partitions de $\left\{1,\ldots,k\right\}$. On appelle $C^{(k)}\left(X_1,\ldots,X_k\right)$ le cumulant d'ordre $k$ de $\left(X_1,\ldots,X_k\right)$. Exemples :

$$C^{(1)}(X_1) = {\mathbb{E}}\left[X_1\right]$$

$$C^{(2)}(X_1,X_2) = \mathop{\hbox{\upshape {cov}}}\nolimits (X_1,X_2)$$

Certaines des propriétés de ces cumulants sont (plus ou moins) élémentaires :

$$C^{(k)}\left(X_1+X'_1,X_2,\ldots,X_k\right) = C^{(k)}\left(X_1,X_2,\ldots,X_k\right)+C^{(k)}\left(X'_1,X_2,\ldots,X_k\right)$$

$$C^{(k)}\left(X_1,X_2,\ldots,X_k\right) = k\geq2 \mbox{ et si $X_1$\ est ind\'ependant de } X_2,\ldots, X_k$$

1. Soit ${\mu}\in{\mathbb{R}}$ ; montrer que $C^{(k)}\left(X_1+{\mu},X_2,\ldots,X_k\right)=C^{(k)}\left(X_1,X_2,\ldots,X_k\right)$ si $k\geq2$.
2. Calculer $C^{(3)}(X_1,X_2,X_3)$ lorsque $X_1$, $X_2$ et $X_3$ sont centrés, puis dans le cas général.
3. On suppose maintenant que $X=(X_t,\in{\mathbb{Z}})$ est un processus stationnaire tel que ${\mathbb{E}}\left[\left\vert X_0\right\vert^3 \right]<+\infty$ . On note $C_X^{(3)}(t_1,t_2,t_3)$ le cumulant $C^{(3)}(X_{t_1},X_{t_2},X_{t_3})$. Montrer que $C_X^{(3)}(t_1,t_2,t_3)=C_X^{(3)}(t_1+h,t_2+h,t_3+h)$ pour tout $h\in{\mathbb{Z}}$.
4. On note désormais $C^{(3)}_X(s,t)=C_X^{(3)}(0,s,t)$ pour tous $0\leq s\leq t$. Soit ${\varepsilon}$ un bruit blanc fort. Calculer $C^{(3)}_{\varepsilon}(s,t)$, puis $C^{(3)}_X(s,t)$ avec $X_u={\varepsilon}_u+{\theta}{\varepsilon}_{u-1}$ pour tout $u\in{\mathbb{Z}}$ dans les deux cas suivants :
   

   $${\varepsilon}_t \sim {\cal N}\left(0,1\right)$$

   $$\P\left({\varepsilon}_t=1\right) = 2\P\left({\varepsilon}_t=-2\right)=\frac{2}{3}$$

   
   
5. On suppose connus $X_1,\ldots,X_N$. Proposer un estimateur de $C^{(3)}_X(s,t)$.

Ex 2.Soit $X$ un processus faiblement stationnaire, ${\alpha}\in{\mathbb{R}}\setminus\left\{-1,0,1\right\}$. On définit le filtre linéaire ${\psi}(B)=(I-{\alpha}B)^{-1}\circ(I-\frac{1}{\alpha}B)$, et on pose $Y={\psi}(B)(X)$.

1. Pour tout $t\in{\mathbb{Z}}$, on pose ${\varphi}(t)={\gamma}_X(t)-{\alpha}^2{\gamma}_Y(t)$, avec ${\gamma}_X$ (resp. ${\gamma}_Y$) la fonction d'autocovariance de $X$ (resp. $Y$). Montrer que ${\varphi}$ vérifie la relation de récurrence
   $$\forall t\in{\mathbb{Z}},\ {\varphi}(t)-\frac{1+{\alpha}^2}{\alpha}{\varphi}(t-1)+{\varphi}(t-2)=0.$$
2. Donner la solution générale de cette équation de récurrence. En déduire que ${\varphi}(t)=0$ pour tout $t\in{\mathbb{Z}}$. Indication : on pourra faire tendre $t$ vers $-\infty$ et $+\infty$.
3. Application : montrer que si $X$ est un bruit blanc, alors $Y$ l'est aussi.

Ex 3.Pour chacune des séries suivantes, proposer en le justifiant un modèle (S)AR(I)MA (sans préciser les ordres $p$ et $q$ du processus ARMA intégré).

1. Nombre de chambres d'hôtel occupées (relevés mensuels) :
   
2. Épaisseur de la couche d'ozone (relevés mensuels) :
   
3. Nombre d'internautes en ligne (relevés toutes les minutes) :
   
4. Ventes de shampooing (relevés mensuels) :
   

Ex 4.Soit $X=\left(X_t,t\in{\mathbb{Z}}\right)$ un processus AR(2) vérifiant

$$\forall t\in{\mathbb{Z}},\ \ X_t-0,1X_{t-1}-0,3X_{t-2}={\varepsilon}_t$$

avec ${\varepsilon}$ bruit blanc de variance ${\sigma}^2$.

1. Montrer que ${\varepsilon}$ est le bruit blanc d'innovation de $X$.
2. Déterminer la représentation MA($\infty$) de $X$ en fonction de $\varepsilon$.
3. Calculer la fonction d'autocorrélation de $X$.
4. Pour tout $t\geq 1$, on pose $\tilde{\varepsilon}_t=X_t-P^\bot_{V^2\left(1,X_1,\ldots,X_{t-1}\right)}\left(X_t\right)$ . Exprimer $\tilde{\varepsilon}_t$ comme combinaison linéaire de $X_s,s\in {\mathbb{Z}}$ pour toute valeur de $t\geq 1$.

Ex 5.Soit $Y=\left(Y_t,t\in{\mathbb{Z}}\right)$ un processus ARMA(1,2) vérifiant

$$\forall t\in{\mathbb{Z}},\ \ Y_t-2,5Y_{t-1}={\varepsilon}_t-0,04{\varepsilon}_{t-2}$$

avec ${\varepsilon}$ un bruit blanc de variance ${\sigma}^2$.

1. Déterminer le bruit blanc d'innovation de $Y$ en fonction de ${\varepsilon}$ et préciser sa variance.
2. On suppose connus $\left(Y_s,s\leq N\right)$. On note $\check Y_N(h)=P^\bot_{V^2\left(Y_s,s\leq N\right)}(Y_{N+h})$ le prédicteur linéaire de $Y_{N+h}$. Déterminer une équation de récurrence vérifiée par le fonction de prévision $(\check Y_N(h),h\geq1)$ en précisant bien à partir de quelle valeur de $h$ elle est valable. Résoudre cette équation en fonction des valeurs pivôtales.
3. Calculer l'erreur de prédiction $\Vert Y_{N+h}- \check Y_N(h)\Vert_2^2$.