Université Paris 5 - René Descartes

UFR de Mathématiques et Informatique

45, rue des Saints-Pères 75270 Paris cedex 06

MST ISASH 2ème année

Maîtrise MASS

Partiel du 29 mars 2000

8h45 - 10h45

Les documents et les calculatrices ne sont pas autorisés.

Le sujet comporte deux pages.

On rappelle que $B$ désigne l'opérateur retard $B(x)_t=x_{t-1}$, et que l'on note

$$B^p\equiv B^{\circ p}=\underbrace{B\circ B\circ\dots\circ B}_{\displaystyle p\mbox{ fois}}$$

Ex .by 1 On trace pour une série temporelle $x=(x_t,t\in\{1,...,200\})$ sa fonction d'autocorrélation estimée (à gauche), et sa fonction d'autocorrélation partielle estimée (à droite) :

On donne les premières valeurs de la fonction d'autocorrélation estimée:

$$\aligned \hat{\rho}_x(1)&=0,966\\ \hat{\rho}_x(2)&=0,925\\ \hat... ...x(3)&=0,878\\ \hat{\rho}_x(4)&=0,816\\ \hat{\rho}_x(5)&=0,753\\ \endaligned$$

Proposer un modèle de type MA($q$) ou AR($p$) pour cette série. Donner les équations qui permettent d'en calculer les coefficients (on ne demande pas de les résoudre).

Ex .by 1 On considère le filtre

$${\phi}={1\over 9}\bigl(8I+B+3B^2-5B^3+2B^4\bigr)$$

Montrer qu'il annule les composantes saisonnières de période 3, et qu'il conserve les tendances polynômiales de degré inférieur ou égal à deux.

${\phi}$ est-il un filtre inversible ?

Ex .by 1 Soit ${\varepsilon}$ un bruit blanc faible et $X$ un processus stationnaire du second ordre vérifiant

$$\forall t\in{\mathbb{Z}}\ \ X_t+0,4X_{t-1}-0,12X_{t-2}={\varepsilon}_t$$

1. De quel modèle ARMA s'agit-il ?
2. Montrer que ${\varepsilon}$ est le bruit blanc d'innovation associé à $X$.
3. En déduire que $\mathop{\hbox{ cov}}\nolimits ({\varepsilon}_t,X_s)=0$ pour tout couple $s<t$, puis que la fonction d'autocorrélation de $X$ vérifie la relation de récurrence
   $${\rho}_X(t)=-0,4{\rho}_X(t-1)+0,12{\rho}_X(t-2)\ \ \forall t\geq 2$$

4. Montrer que
   $${\rho}_X(t)={2\over 11}(0,2)^t+{9\over 11}(-0,6)^t\ \ \forall t\in{\mathbb{N}}$$

5. Déterminer la fonction d'autocorrélation partielle $r_X$ de $X$.

Ex .by 1 Soient $X$ et $Y$ les processus définis par

$$\aligned X_t&={\varepsilon}_t+0,3{\varepsilon}_{t-1}-0,4{\varepsi... ...&={\varepsilon}'_t-1,2{\varepsilon}'_{t-1}-1,6{\varepsilon}'_{t-2} \endaligned$$

avec ${\varepsilon}$ et ${\varepsilon}'$ deux bruits blancs de variances ${\sigma}_{\varepsilon}^2=1$ et ${\sigma}_{\varepsilon'}^2=1/4$.

1. De quel type de processus ARMA s'agit-il ? Préciser pour chacun si le modèle qui le définit est causal ou inversible.
2. Calculer et comparer les fonctions d'autocovariance de $X$ et $Y$. Expliquer.

Question de cours. Rappeler les définitions de la stationnarité stricte, faible, d'un bruit blanc fort, faible.