Université Paris 5 - René Descartes

UFR de Mathématiques et Informatique

45, rue des Saints-Pères 75270 Paris cedex 06

MST ISASH 2ème année

Maîtrise MASS

Examen du 29 mai 2000

14h-17h

Le sujet comporte deux pages.

Ex 1. Soit $X=(X_n,n\in{\mathbb{N}}^*)$ un processus défini par $X_n=\cos(nU)$, où $U$ suit une loi uniforme sur $[-{\pi},{\pi}]$.

1) Montrer que $X$ est faiblement stationnaire.

2) Montrer que $X$ n'est pas strictement stationnaire.

Ex 2. Soit $X$ le processus faiblement stationnaire vérifiant

$$\forall t\in{\mathbb{Z}},\ X_t=2X_{t-1}+{\varepsilon}_t+3{\varepsilon}_{t-1}$$

avec ${\varepsilon}$ bruit blanc faible de variance $1$.

1) De quel type de processus s'agit-il ? Est-il ici donné sous forme causale et inversible ?

2) Calculer le bruit blanc d'innovation associé à $X$ en fonction de ${\varepsilon}$.

3) Déterminer la repésentation de Wold de $X$.

Ex 3. Soit ${\phi}=\sum_{n=-p}^qa_nB^{n}$ un filtre linéaire. Montrer qu'il conserve les tendances polynômiales de degré inférieur ou égal à 3 si et seulement si

$$\left\{\aligned \sum_{n=-p}^qa_n&=1\mbox{ et}\\ \sum_{n=-p}^qa_nn^j&=0,\ \forall j=1,2,3 \endaligned\right.$$

Ex 4. Soit $X$ un processus faiblement stationnaire de type MA(1), vérifiant :

$$X_t={\varepsilon}_t+0,6{\varepsilon}_{t-1} \ \ \forall t\in{\mathbb{Z}}$$

avec ${\varepsilon}$ bruit blanc faible de variance 1.

1) Déterminer les scalaires ${\alpha}_n$ tels que

$$\forall t\in{\mathbb{Z}}\ \ {\varepsilon}_t=\sum_{n\in{\mathbb{N}}}{\alpha}_nX_{t-n}$$

On définit, à l'aide de l'algorithme des innovations, les variables aléatoires $\bar{\varepsilon}_t$ et les coefficients $({\theta}_{n,t})_{0\leq n<t}$ tels que

$$\aligned \bar{\varepsilon}_t&=X_t-P^\bot_{V^2(X_1,...,X_{t-1})}(X_t)\\ X_t&=\sum_{n=0}^{t-1}{\theta}_{n,t}\bar{\varepsilon}_{t-n} \endaligned$$

2) Que vaut ${\theta}_{0,t}$ ? Que valent ${\theta}_{n,t}$ pour $n\geq 2$ ?

3) Montrer que $\lim_{t\rightarrow +\infty}{\mathbb{E}}[(\bar{\varepsilon}_t-{\varepsilon}_t)^2]=0$.

4) En déduire la limite de ${\theta}_{1,t}$, quand $t$ tend vers l'infini.

5) Déterminer en fonction de $\bar{\varepsilon}$ et de ${\theta}_{1,t}$ les prédicteurs linéaires $\bar X_N(h)=P^\bot_{V^2(X_1,...,X_N)}(X_{N+h})$, ainsi que la variance des erreurs de prédiction. En donner une approximation pour $N$ grand.

Ex 5. On considère le processus ARMA(1,1) $X$ vérifiant

$$X_t-0,8X_{t-1}={\varepsilon}_t+0,3{\varepsilon}_{t-1}$$

avec ${\varepsilon}$ bruit blanc gaussien de variance 1. Soit $x=(x_1,...,x_{200})$ une réalisation de ce processus entre $t=1$ et $t=200$. Sur le graphe ci-dessous, on a représenté la densité spectrale de $X$, ainsi que le périodogramme de $x$, entre 0 et ${\pi}$($\sim 100$ sur le graphe). Commenter.