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Théorème :

De toute suite bornée de réels, on peut extraire une sous-suite qui tend vers une limite finie.

Démonstration :

Soit $(u_n)$ une suite de réels telle que

$${\forall n\in{\mathbb{N}},\quad -M\le u_n\le M.}$$

On va construire $\varphi\,:{\mathbb{N}}\longrightarrow {\mathbb{N}}$ strictement croissante et deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ adjacentes telles que, pour tout $n\in{\mathbb{N}}$,

$${a_n\le u_{\varphi(n)}\le b_n.}$$

Les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ convergeant vers la même limite, cela prouve le théorème.

On pose $a_0=-M$, $b_0=M$ et $\varphi(0)=0$. Considérons les deux intervalles $[-M,0]$ et $[0,M]$. L'un d'eux contient une infinité de termes de la suite $(u_n)$. On définit ainsi $a_1$ et $b_1$ pour que l'intervalle $[a_1,b_1]$ soit cet intervalle. On peut ensuite trouver un entier $\varphi(1)>\varphi(0)$ tel que $u_{\varphi(1)}\in[a_1,b_1]$ puisqu'il y a une infinité de termes de la suite dans cet intervalle.

D'une manière générale, supposons définis

$${a_0,\ldots,a_n,b_0,\ldots, b_n,\varphi(0),\ldots,\varphi(n)}$$

tels que

$${a_0\le \cdots\le a_n\le b_n\le\cdots\le b_0}$$

$${\varphi(0)<\cdots<\varphi(n)}$$

$${\forall k\le n,\quad u_{\varphi(k)}\in[a_k,b_k]}$$

$${\forall k\le n,\ [a_k,b_k]\mbox{ contient une infinit\'e de termes de la suite }(u_n).}$$

Alors, on considère les intervalles $\left[a_n,\frac{a_n+b_n}{2}\right]$ et $\left[\frac{a_n+b_n}{2},b_n\right]$. L'un d'eux, noté $[a_{n+1},b_{n+1}]$ contient une infinité de termes de la suite $(u_n)$. On peut alors trouver $\varphi(n+1)>\varphi(n)$ tel que $u_{\varphi(n+1)}\in[a_{n+1},b_{n+1}]$. On a ainsi trouvé $a_{n+1}$, $b_{n+1}$, $\varphi(n+1)$ répondant aux exigences de la construction par récurrence.

Enfin, les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes puisque

$${0\le b_{n+1}-a_{n+1}\le \frac{b_n-a_n}{2}}$$

et donc, par récurrence

$${0\le b_n-a_n\le \frac{M}{2^{n-1}}}$$

ce qui termine la démonstration.cqfd