$\parbox{10cm}{\scriptsize\bf Universit\'e Ren\'e Descartes -- Paris ... ...} \\ %{\large \bf Sujet 1 }\\ 45, rue des Saints-P\\lq eres 75270 Paris cedex 06}$

Mathématiques et Calculs : Partiel n^o1
Octobre 2006

L1 : Licence sciences et technologies,
mention mathématiques, informatique et applications

Nombre de pages de l'énoncé : 2. Durée 1 heure.

NB : Pour chaque question du questionnaire à choix multiples, cinq réponses sont proposées : deux réponses sont exactes et trois réponses sont fausses. L'étudiant répondra en cochant, sur la feuille de réponse jointe à l'énoncé, les deux cases des réponses qu'il pense correctes. Les points ne seront accordés que si les deux réponses correctes, et elles seules, ont été cochées. Aucun point ne sera accordé si une seule réponse, même correcte, est cochée. La feuille de réponse ne doit pas être raturée.

Tout document est interdit. Les calculatrices et les téléphones portables, même à titre d'horloge, sont également interdits.

Question 1. Une suite géométrique réelle $(u_{n})_{n\in {\mathbb{N}}}$ de raison $q\in {\mathbb{R}}^{*}_{+}$

1. Oui     Non    

tend toujours vers 0 si $q\in ]0,1[$ .

2. Oui     Non    

est définie par la relation de récurrence $\forall n \in {\mathbb{N}},\; u_{n+1}=q\,u_{n}$ et la donnée de son premier terme $u_{0}$ .

3. Oui     Non    

vérifie la relation de récurrence $\forall n \in {\mathbb{N}},\; u_{n+1}=u_{n}+q$ .

4. Oui     Non    

tend toujours vers $+\infty$ si $q>1$ .

5. Oui     Non    

est toujours croissante.

Question 2. Soit $f$ une application de $E$ dans $F$ non injective. Alors,

1. Oui     Non    

$f$ est forcément surjective.

2. Oui     Non    

$\forall x,y \in E,\;\;\; f(x)\neq f(y) \Rightarrow x \neq y$ .

3. Oui     Non    

$\forall x \in E,\;\exists y \in E, \;\;\; f(x)= f(y) \hbox{ et } x\neq y$ .

4. Oui     Non    

Il existe un élément de $F$ qui a (au moins) deux antécédents distincts.

5. Oui     Non    

Il existe un élément de $E$ qui a deux images distinctes.

Question 3. Soit $P$ et $Q$ deux assertions quelconques. Quelles sont les assertions équivalentes à $P\Longrightarrow Q$ ?

1. Oui     Non    

$(P\,et\,Q)\,ou\,(non\,P)$

2. Oui     Non    

$non\, ( non (P) \; \hbox{et} \; Q )$

3. Oui     Non    

$Q\,et\,(non\,P)$

4. Oui     Non    

$Q\Longrightarrow P$

5. Oui     Non    

$non\, Q\Longrightarrow non\,P$

Question 4. Pour $A$ et $B$ deux parties non vides d'un même ensemble $X$ , l'assertion $A\subset B$ équivaut à :

1. Oui     Non    

$\forall x\in X,\ x\in B\Longrightarrow x\in A$ .

2. Oui     Non    

$B \subset A^c$ .

3. Oui     Non    

$A \cap B \neq \emptyset .$

4. Oui     Non    

$A \cup B = B$ .

5. Oui     Non    

$\forall x\in X,\ x\not \in B \Longrightarrow x \not \in A$ .

Question 5.

1. Oui     Non    

Une suite à termes positifs qui converge vers 0 est décroissante.

2. Oui     Non    

Toute suite non majorée tend vers $+\infty$ .

3. Oui     Non    

Soit $(u_n)_n$ une suite de nombres réels, si la suite $(\vert u_n\vert)_n$ converge alors $(u_n)_n$ converge aussi.

4. Oui     Non    

Une suite à termes positifs et strictement décroissante, converge.

5. Oui     Non    

Toute suite croissante et majorée est bornée.

Question 6. Soit $(u_n)_{n\in {\mathbb{N}}}$ , $(v_n)_{n\in {\mathbb{N}}}$ et $(w_n)_{n\in {\mathbb{N}}}$ trois suites réelles, vérifiant: $u_n\leq v_n\leq w_n$ .

1. Oui     Non    

Si $(u_n)$ tend vers $+\infty$ , alors $(v_n)$ tend vers $+\infty$ .

2. Oui     Non    

Si $$\lim_{n\to +\infty}(w_n-u_n)=0$$ , alors $(v_n)$ est convergente dans $\mathbb{R}$ .

3. Oui     Non    

Si $(u_n)$ est croissante, et $(w_n)$ est décroissante, et si de plus $$\lim_{n\to +\infty}(w_n-u_n)=0$$ , alors $(u_n)$ , $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent, et $$\lim_{n\to +\infty}v_n= \lim_{n\to +\infty}u_n= \lim_{n\to +\infty}w_n.$$

4. Oui     Non    

Si $$\lim_{n\to +\infty}u_n=0$$ et $$\lim_{n\to +\infty}w_n=1$$ , alors $$\lim_{n\to +\infty}v_n$$ existe et appartient à l'intervalle $[0,1]$ .

5. Oui     Non    

Si $(u_n)$ tend vers $-\infty$ , et $(w_n)$ tends vers $+\infty$ , alors $(v_n)$ ne converge pas.

Question 7. Parmi relations suivantes, déterminer celles qui sont vraies pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ :

1. Oui     Non    

$$\sum_{k=0}^n (k+1)^2=\left( \sum_{k=0}^n (k+1)\right)^2$$ .

2. Oui     Non    

$$\sum_{k=0}^n k(k+1)=\left(\sum_{k=0}^n k\right)\times \left(\sum_{k=0}^n (k+1)\right)$$ .

3. Oui     Non    

$$\sum_{k=0}^n k(k+1)=\sum_{k=1}^{n+1}k(k-1)$$ .

4. Oui     Non    

$$\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)^2=\sum_{j=0}^{n-1} (n-j)^2$$ .

5. Oui     Non    

$$\sum_{k=0}^n k(k+1)=\sum_{k=0}^n k^2+\sum_{k=1}^{n+1}k$$ .

Question 8. Soit $n \in \mathbb{N}$ .

1. Oui     Non    

$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k (k+1)} = \frac{10}{11}$ .

2. Oui     Non    

$\sum_{k=0}^{n} (-2)^k \binom{n}{k} = (-1)^n$ .

3. Oui     Non    

$\sum_{k=3}^{10} 1 = 7$ .

4. Oui     Non    

$\sum_{k=2}^{10} \frac{1}{k} = 1$ .

5. Oui     Non    

$\sum_{k=1}^{n} (3 k+2) = 3 \times \frac{n (n+1)}{2} + 2$ .

Question 9. Soit $E$ un ensemble. Alors, $\forall A, B, C \in P(E)$

1. Oui     Non    

$B \cup (A \cap B) = B$ ,

2. Oui     Non    

$\left( A \cap \left( B \cup C \right) \right)^c= \left( A\cup B \right) \cap \left( A \cup C \right)$ ,

3. Oui     Non    

$A\cap \left(A \cup B \right)= A\cup B$ ,

4. Oui     Non    

$\left( A \cap \left( B^c \cup A \right)^c \right)^c=E$ ,

5. Oui     Non    

$A^c \cup \left( A \cap B\right) \cup B =E$ .

Question 10. Soit un ensemble $A \subset \mathbb{R}$ .

1. Oui     Non    

$A$ n'est pas minoré s'écrit: $\forall m \in \mathbb{R}, \; \forall x \in A, \; m>x$

2. Oui     Non    

$m$ est un minorant de $A$ s'écrit: $\exists m \in \mathbb{R}, \; \exists x \in A , \; m \leq x$ .

3. Oui     Non    

$10$ est un majorant de $A$ s'écrit: $\forall x \in A$ , $10 \geq x$ .

4. Oui     Non    

$A$ est majoré s'écrit: $\exists M \in \mathbb{R}, \; \forall x \in A, \; M \geq x$ .

5. Oui     Non    

$A$ est borné s'écrit: $\exists m \in \mathbb{R}, \; \forall x \in A, \; \exists M \in \mathbb{R}, \; m\leq x\leq M$ .