Université René Descartes - Paris 5
UFR de Mathématiques et Informatique
45, rue des Saints-Pères 75270 Paris cedex 06

Mathématiques et Calculs: Partiel 2
7 novembre 2006

L1: Licence Sciences et Technologies,
mention mathématiques, informatique et applications.

Nombre de pages de l'énoncé: 2. Durée: 1 heure.

NB: Pour chaque question du questionnaire à choix multiple, cinq réponses sont proposées, deux réponses sont exactes et trois réponses sont fausses. L'étudiant répondra en cochant, sur la feuille de réponse jointe à l'énoncé, les deux cases des réponses qu'il pense correctes. Les points ne seront accordés que si les deux réponses correctes et elles seules, ont été cochées. Aucun point ne sera accordé si une seule réponse, même correcte, est cochée. La feuille de réponse ne doit pas être raturée.

Tout document est interdit. Les calculatrices et les téléphones portables, même à titre d'horloge, sont également interdits.

Question 1.

1. Oui     Non    

Soient $(a_1,a_2,a_3)\in\mathbb{R}^{*}\times\mathbb{R}^2$ . Il existe $z_0 \in \mathbb{C}$ tel que $a_1z_0^2+a_2z_0+a_3=0$ .

2. Oui     Non    

$\forall z \in \mathbb{C}$ , $z=-\overline{z}$ .

3. Oui     Non    

Soient $(a_1,a_2,a_3)\in\mathbb{C}^{*}\times\mathbb{C}^2$ . Il existe $z_0 \in \mathbb{R}$ tel que $a_1z_0^2+a_2z_0+a_3=0$ .

4. Oui     Non    

$\forall z \in \mathbb{C}$ , $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ , $\left(\overline{z}\right)^n=\overline{z^n}$ .

5. Oui     Non    

$\forall (z,z') \in \mathbb{C}^2$ , $\vert z+z'\vert<\vert z\vert+\vert z'\vert$ .

Question 2. Considérons l'équation du second degré suivante: $5z^2+2z+4=0$ admettant deux solutions $z_1$ et $z_2$ .

1. Oui     Non    

$z_1 z_2=4$

2. Oui     Non    

Le module de ces solutions est $\frac{1}{\sqrt{5}}$ .

3. Oui     Non    

$z_1$ et $z_2$ sont solutions de $5z^6+2z^5+4z^4=0$ .

4. Oui     Non    

$z_1=\frac{1}{z_2}$ .

5. Oui     Non    

$z_1+z_2 \in \mathbb{R}$ .

Question 3. Considérons le nombre réel $z=\frac{2}{1-i\sqrt{3}}$ . Alors

1. Oui     Non    

$\arg (z)= \frac{\pi}{6}$

2. Oui     Non    

$z\overline{z}^2=\frac{1}{2} -i\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

3. Oui     Non    

$\vert z\vert=1$ .

4. Oui     Non    

$\overline{z}^2=\frac{1}{2} -i\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

5. Oui     Non    

$z=1+i\sqrt{3}$ .

Question 4. Soit $n\in \mathbb{N}^{*}$ . Considérons les racines $n$ -ièmes du complexe $z=1+i\sqrt{3}$ .

1. Oui     Non    

Si $w$ est l'une de ces racines $n$ -ièmes $2w$ l'est aussi.

2. Oui     Non    

Deux de ces racines sont identiques.

3. Oui     Non    

Le module de toute racine $n$ -ième de $z$ est égal à $\frac{1}{2n}$ .

4. Oui     Non    

L'une de ces racines a pour argument $\frac{\pi}{3n}$ .

5. Oui     Non    

Le module de toute racine $n$ -ième de $z$ est égal à $2^{\frac{1}{n}}$ .

Question 5. Calcul de limites

1. Oui     Non    

$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^2-1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{4x-1}}=-\frac{4}{\sqrt{3}}$

2. Oui     Non    

$\lim_{x\rightarrow \pi} \frac{2+2\cos(x)}{\sin^2(x)}=1$

3. Oui     Non    

$\lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^2-4}{(x-2)\cos(x\pi)}=+\infty$

4. Oui     Non    

$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^2-3x+2}{2x^2-4}=2$

5. Oui     Non    

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^2+2\vert x\vert}{x}$ vaut $2$

Question 6. Soient $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ et $h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ .

1. Oui     Non    

Si, $\forall x \in \mathbb{R}$ , $f(x)\leq g(x)$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=+\infty$ alors $\lim_{x\rightarrow +\infty} g(x)=+\infty$ .

2. Oui     Non    

Si, $\forall x \in \mathbb{R}$ , $f(x)\leq g(x)$ et $g$ est continue en $x_0$ alors $f$ est continue en $x_0$ .

3. Oui     Non    

Si $\forall x \in \mathbb{R}$ , $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ , si de plus $\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0$ et $\lim_{x \rightarrow +\infty}h(x)=1$ alors $g$ a une limite finie en $+ \infty$ .

4. Oui     Non    

Si $\lim_{x \rightarrow 0} f(x)=L$ alors $\lim_{x \rightarrow 0} f\left(\frac{x}{2}\right)=L$ .

5. Oui     Non    

Si, $\forall x \in \mathbb{R}$ , $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x)-f(x)=0$ alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)$ existe.

Question 7. Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ , $2\pi$ périodique, non constante.

1. Oui     Non    

Si $f$ est continue sur $[0,2\pi]$ et telle que $\lim_{x\rightarrow0 ^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 2 \pi ^{-}}f(x)$ alors $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

2. Oui     Non    

$\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=+\infty$ .

3. Oui     Non    

Si $f$ est continue sur $[0,2\pi]$ , $f$ est bornée sur $\mathbb{R}$ .

4. Oui     Non    

$f$ admet une limite finie en $+ \infty$ .

5. Oui     Non    

Si $f$ est strictement croissante sur $[0,2\pi[$ , alors $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Question 8. $\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{x}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}\right)$

1. Oui     Non    

Cette limite n'existe pas.

2. Oui     Non    

$\forall A>0, \exists B\in \mathbb{R}, x>B \Rightarrow \vert\sqrt{x}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}\right)\vert>A$

3. Oui     Non    

Cette limite est égale à $\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{x}\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}$ .

4. Oui     Non    

Cette limite est égale à $2$ .

5. Oui     Non    

Cette limite vaut $1$ .

Question 9. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $g(x)=x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ .

1. Oui     Non    

$g$ n'admet pas de limite en 0 .

2. Oui     Non    

$f$ est prolongeable par continuité en 0 avec la valeur 0 .

3. Oui     Non    

$f$ n'admet pas de limite en 0 .

4. Oui     Non    

$g$ est prolongeable par continuité sur $\mathbb{R}$ car $\lim_{x\rightarrow 0} g(x)=0$ .

5. Oui     Non    

$g$ est prolongeable par continuité en 0 avec la valeur $1$ .

Question 10. Soit $E(x)$ la partie entière de $x$ . Etude de $x\mapsto x E\left(\frac{1}{x}\right)$ .

1. Oui     Non    

$\lim_{x\rightarrow 0} x E\left(\frac{1}{x}\right)$ n'existe pas.

2. Oui     Non    

$\lim_{x\rightarrow 0} x E\left(\frac{1}{x}\right)=+ \infty$ .

3. Oui     Non    

$\forall x \in \mathbb{R}^{*+}, x E\left(\frac{1}{x}\right) > 0$ .

4. Oui     Non    

$\lim_{x\rightarrow 0} x E\left(\frac{1}{x}\right)=1$ .

5. Oui     Non    

$\forall x \in \mathbb{R}, E(x)\leq x < E(x)+1$ .