Université René Descartes

UFR Mathématiques et Informatique

2004-2005

Licence 1ère année, UE MC1

Partiel n^o4

3 janvier 2005

durée 2h

(a) Pour chaque question du questionnaire à choix multiples, quatre réponses sont proposées : deux réponses sont exactes et deux réponses sont fausses. L'étudiant répondra en cochant, sur la feuille de réponse jointe à l'énoncé, les deux cases des réponses qu'il pense correctes. Les points ne seront accordés que si les deux réponses correctes, et elles seules, ont été cochées. Aucun point ne sera accordé si une seule réponse, même correcte, est cochée. La feuille de réponse ne doit pas être raturée.

Tout document est interdit. Les calculatrices et les téléphones portables, même à titre d'horloge, sont également interdits.

On se place dans $E={\mathbb{R}}^3$ .

1. Oui     Non     $E_1=\{(x,y,z)\in E / x-y+z/3=0 \}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
2. Oui     Non     $E_2=\{(x,y,z)\in E / x+y+z=1 \}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
3. Oui     Non     $E_3=\{(x,y,z)\in E / \exp(x)=1 \}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
4. Oui     Non     $E_4=\{(x,y,z)\in E / \ln(x)=0 \}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

On considère dans $E={\mathbb{R}}^3$ les deux familles de vecteurs suivantes : ${\cal S}_1=\{(1,2,1), (2,3,1), (0,1,1) \}$ et ${\cal S}_2=\{(1,2,1), (2,3,1), (0,1,2) \}$ .

1. Oui     Non     La famille ${\cal S}_1$ est libre.
2. Oui     Non     La famille ${\cal S}_2$ est libre.
3. Oui     Non     La famille $\{(1,2,1), (2,3,1), (0,1,1) ,(0,1,2) \}$ est de rang 3.
4. Oui     Non     La famille $\{(1,2,1), (2,3,1), (0,1,1) ,(0,1,2) \}$ est de rang 4.

On considère, dans $E={\mathbb{R}}^3$ , la famille de vecteurs ${\cal S}=\{(1,0,3), (0,1,2), (2,-3,0) \}$ .

1. Oui     Non     La famille ${\cal S}$ est libre.
2. Oui     Non     $${ \left\vert\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -3\\ 3 & 2 & 0 \end{array}\right\vert}=0$$.
3. Oui     Non     L'espace vectoriel engendré par ${\cal S}$ est $\{ (x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3 / 3x+2y-z=0 \}$.
4. Oui     Non     L'espace vectoriel engendré par ${\cal S}$ est $\{ (x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3 / 3x+2y+z=0 \}$.

On considère les matrices : $${A= \left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -3\\ 3 & 2 & 0 \end{array}\right)}$$ , $${B= \left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)}$$ et $${C= \left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \end{array}\right)}$$

1. Oui     Non     $B.A$ , $C.A$ et $A.^tC$ existent.
2. Oui     Non     $^tB.C$ existe et est égal à $${\left(\begin{array}{rrr} 1 \\ 0 \end{array}\right)}$$.
3. Oui     Non     $B.^tC$ existe et est égal à $${\left(\begin{array}{rrr} 1 \\ 0 \end{array}\right)}$$.
4. Oui     Non     $B.A$ existe et est égal à $${\left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & -3 \\ 3 & 3 & 3 \end{array}\right)}$$.

On considère l'endomorphisme $f$ de ${\mathbb{R}}^3$ défini par $f(x,y,z)=(x-y, y-z, x-z)$ et la matrice $${A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \end{array}\right)}$$ .

1. Oui     Non     $A$ est la matrice de $f$ dans la base canonique.
2. Oui     Non     $^tA$ est la matrice de $f$ dans la base canonique.
3. Oui     Non     $f(1,1,1)=f(0,0,0)$ et l'endomorphisme $f$ n'est pas injectif.
4. Oui     Non     $f$ est surjectif.

Soit $f$ définie par $f(x)=\displaystyle{\left(1+\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)^x}$

1. Oui     Non     $f$ est définie sur ${\mathbb{R}}^*$.
2. Oui     Non     Soit $k$ un entier positif, $${\lim_{k\to +\infty} f\left(\frac{1}{k\pi}\right)=1}$$.
3. Oui     Non     $${e-\frac{e}{2x}}$$ est un développement asymptotique de $f$ à l'ordre 1 en $+\infty$.
4. Oui     Non     $${e+\frac{e}{2x}}$$ est un développement asymptotique de $f$ à l'ordre 1 en $+\infty$.

Soit $f$ définie par $f(x)=\displaystyle{x^2\left(\exp\left(\frac{1}{x}\right) -\exp \left(\frac{1}{x+1}\right) \right)}$

1. Oui     Non     $f$ est prolongeable par continuité en 0.
2. Oui     Non     $f$ n'est pas prolongeable par continuité en 0.
3. Oui     Non     $${1+\frac{1}{6x^3}}$$ est un développement asymptotique de $f$ à l'ordre 3 en $+\infty$.
4. Oui     Non     $${1+\frac{1}{6x^2}}$$ est un développement asymptotique de $f$ à l'ordre 2 en $+\infty$.

Soit $f$ définie par $f(x)=\displaystyle{\ln\left(\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right)}$

1. Oui     Non     Le domaine de définition de $f$ est ${\mathbb{R}}-\{\pi/2\}$.
2. Oui     Non     Sur le domaine de définition de $f$ , on a $f'(x)=\displaystyle{\frac{2}{\cos(x)}}$.
3. Oui     Non     $${2x+\frac{x^3}{3}}$$ est un développement limité à l'ordre 3 de $f$ en 0.
4. Oui     Non     $f(x)$ est équivalent à $${-\ln\vert x-\frac{\pi}{2}\vert}$$ en $\pi/2$.

(a)

Problème

Remarque préliminaire : Les questions qui suivent nécessitent une réponse rédigée. Les points ne seront attribués que si les différentes étapes de la démonstration sont correctement et clairement justifiées.

On se place dans $E={\mathbb{R}}^3$ et on considère l'endomorphisme $f$ défini par

$$f(x,y,z)=(y+z,x+z,x+y)$$

On pose $${A= \left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right)}$$ et $${D= \left(\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)}$$ .

1.

Montrer que $A$ est la matrice de $f$ dans la base canonique.

2.

Calculer $A^2$ et $A^3$ .

3.

Calculer $D^n$ pour $n$ entier positif.

4.

On note $\vec u_1=(0,1,1)$ , $\vec u_2=(1,0,1)$ et $\vec u_3=(1,1,0)$ , Montrer que le système $\{\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3\}$ est une base de $E$ .

5.

Déduire de la question précédente le rang du système $\{\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3\}$ . Que peut-on dire de la matrice $A$ ?

6.

On note $\vec v_1=(-1,0,1)$ , $\vec v_2=(-1,1,0)$ et $\vec v_3=(1,1,1)$ , Montrer que le système $\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}$ est une base de $E$ .

7.

Montrer que $D$ est la matrice de $f$ dans la base $(\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3)$ .

8.

Montrer que la matrice de passage de la base canonique à la base $(v_1,v_2,v_3)$ s'écrit

$$\displaystyle{P= \left(\begin{array}{rrr} -1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)}$$

9.

Résoudre le système

$$\left\{\begin{array}{ll} -x-y+z=X\\ y+z=Y\\ x+z=Z \end{array}\right.$$

et expliquer comment en déduire que $${P^{-1}= \left(\begin{array}{rrr} -1/3 & -1/3 & 2/3\\ -1/3 & 2/3 & -1/3\\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \end{array}\right)}$$ .

10.

Calculer $A^n$ pour $n$ entier strictement positif grâce à la formule de changement de base.

11.

On considère le système récurrent suivant :

$$\left\{\begin{array}{ll} x_{n+1}=y_n+z_n\\ y_{n+1}=x_n+z_n\\ z_{n+1}=x_n+y_n \end{array}\right.$$

et on pose $${U_n= \left(\begin{array}{rrr} x_n\\ y_n\\ z_n \end{array}\right)}$$ et $${U_0= \left(\begin{array}{rrr} x_0\\ y_0\\ z_0 \end{array}\right)}$$ . Trouver une relation matricielle enlatre $U_{n+1}$ et $U_n$ .

12.

En déduire une relation matricielle entre $U_n$ et $U_0$ .

(a)

Nom :
Prénom :
n$^\circ$ carte d'étudiant :

Partiel n^o4

3 janvier 2005

Réponses au questionnaire

	a	b	c	d
1
2
3
4
5
6
7
8