$\parbox{10cm}{\scriptsize Universit\'e Paris 5 -- Ren\'e Descartes\\... ...ematiques et Informatique}\\ 45, rue des Saints-P\\lq eres 75270 Paris cedex 06 }$

STATISTIQUE des PROCESSUS
Maîtrise MASS, M.S.T.2 , 2000-2001


Examen Mai 2001
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Problème 1.

1)

Soit le processus $Y=(Y_t, t \in {\rm Z\!\!Z})$, défini par $Y_t(\omega)=f(t)+X_t(\omega)$, avec $X$ processus stationnaire centré, et $f$ fonction déterministe définie par $f(t)=P_k(t)+s(t)$, $P_k$ étant un polynôme de degré k fixé et $s$ une fonction périodique de période 4 non nulle.

a)

$Y$ est-il un processus stationnaire?

b)

Rappeler la définition d'un processus $ARMA(p,q)$.
Peut-on modéliser $Y$ par un $ARMA(p,q)$?

c)

On décide d'appliquer l'opérateur linéaire $(I-B)^k(I-B^4)$ à $Y$. Justifier ce choix de différenciation, en particulier par le calcul, en considérant le cas où $k=1$.
Peut-on alors modéliser $(I-B)^k(I-B^4)Y$ par un $ARMA(p,q)$? S'agit-il d'un processus centré?

d)

Quelle procédure alternative adopter, si l'on souhaite modéliser $Y$ sans transformation préalable de $X$?

2)

On choisit la méthode de différenciation et à partir des 77 observations de la série transformée $Z$ définie par $Z_t:=(I-B)^k(I-B^4)Y_t$, $t\in {\rm Z\!\!Z}$, on trace les graphes de la fonction d'autocorrélation empirique et de la fonction d'autocorrélation partielle empirique.

a)

Rappeler la définition des fonction d'autocovariance, d'autocorrélation et
d'autocorrélation partielle d'un processus stationnaire, puis donner un exemple d'estimateur empirique de la fonction d'autocovariance.

b)

A quoi correspondent les bornes $$\pm \frac{1.96}{\sqrt{77}}$$ sur les graphes donnés ci-dessus? (comment sont-elles calculées?)

c)

En vous basant sur ces graphes, quels degrés $p$ et $q$ choisiriez-vous pour la modélisation de la série $(Z_t)$ par un processus $ARMA(p,q)$? On aura soin de justifier sa réponse, en rappelant les propriétés utilisées.

3)

$p$ et $q$ étant supposés connus, on cherche à identifier le modèle $ARMA(p,q)$.

a)

Quels sont les paramètres à estimer? Après avoir effectué une estimation préliminaire de ces paramètres, quelle méthode d'estimation utilise-t-on? A quoi sert l'estimation préliminaire?

b)

On s'intéresse à l'estimation préliminaire des paramètres, en particulier dans le cas d'un processus centré $AR(p)$ noté $U=(U_t, t\in{\rm Z\!\!Z})$, et défini par

$$U_t+\sum_{j=1}^{p}\phi_jU_{t-j}={\varepsilon}_t,$$   avec$$\quad {\varepsilon}~$$   bruit blanc de variance$$~ \sigma^2_u.$$

Démontrer que la fonction d'autocovariance $\gamma_u$ de $U$ satisfait les équations, dites de Yule-Walker, données par

$$\left\{ \begin{array}{llll} -\sum_{j=1}^p\phi_j\gamma_u(k-j)&=&\g... ...-\sum_{j=1}^p\phi_j\gamma_u(j)+\sigma^2_u &=&\gamma_u(0) & \end{array} \right.$$

En quoi ce système peut-il être utile pour l'estimation préliminaire des paramètres?

c)

On reprend l'étude de la série $Z$. Sa fonction d'autocovariance empirique prend les valeurs: $\hat{\gamma}(0)=0.17992$, $\hat{\gamma}(1)=0.07590$, $\hat{\gamma}(2)=0.04885$, etc...
En supposant que parmi les modèles possibles pour modéliser $Z$, on considère un processus $AR(1)$, donner une estimation empirique des paramètres de ce modèle.
On rappelle le résultat suivant:
Si $X=(X_t, t\in{\rm Z\!\!Z})$ est un processus $AR(p)$ causal avec ${\varepsilon}=({\varepsilon}_t, t\in{\rm Z\!\!Z})$ bruit blanc de var $\sigma ^2$ et si $\hat{\Phi}$ est l'estimateur de Yule-Walker de $\Phi$, alors

$$\sqrt{n}(\hat{\Phi}-\Phi) \rightarrow ^d {\cal{N}}(0,\sigma^2\Gamma^{-1}_p),$$   quand $$\quad n\rightarrow\infty,$$

avec $\Gamma_p=(\gamma(i-j))_{i,j=1,\ldots,p}$ (matrice de covariance de $X$), $\Phi:=~^t(\Phi_1,\ldots,\Phi_p)$, et $\hat{\Phi}:=~^t(\hat{\Phi}_1,\ldots,\hat{\Phi}_p)$.
Utiliser ce résultat pour construire une région de confiance au niveau 95% pour les paramètres du polynôme autorégressif associé au modèle.

Problème 2.

Soit $({\varepsilon}_t, t \in {\rm Z\!\!Z})$ une suite de v.a.r. i.i.d. centrées et de variance $\sigma ^2$. On pose

$$X_t=\sum_{i=0}^{\infty}\rho^i{\varepsilon}_{t-i}, \qquad \vert\rho\vert<1, \qquad t\in{\rm Z\!\!Z}.$$

1)

Montrer que la série définissant $X_t$ est convergente en m.q., i.e. dans $L^2$ (il suffit de montrer que $(S_n)_n$, où $$S_n:=\sum_{i=0}^n\rho^i{\varepsilon}_{t-i}$$, est une suite de Cauchy dans $L^2$).

2)

Calculer $E[X_t]$, $Var(X_t)$ et $Cov(X_s,X_t)$ pour $s<t$ (on aura soin de justifier les calculs effectués).

3)

Soit le processus $X=(X_t, t\in{\rm Z\!\!Z})$.

a)

Montrer que $X_t=\rho X_{t-1}+ {\varepsilon}_t$. De quel processus s'agit-il?

b)

En déduire que, pour $h>0$, $$X_t=\rho^hX_{t-h}+\sum_{k=1}^{h}\rho^{h-k}{\varepsilon}_{t-(h-k)}$$.

c)

$X$ est-il faiblement stationnaire?

4)

Montrer que pour tout $h>0$, $E[X_t{\varepsilon}_{t+h}]=0$.

5)

On suppose désormais que $({\varepsilon}_t, t \in {\rm Z\!\!Z})$ est un processus gaussien; on en déduit que $X$ est un processus gaussien (en utilisant que la limite en m.q. de v.a. gaussienne est encore une v.a. gaussienne). $X$ est-il strictement stationnaire?
On dispose des observations $(X_0, \ldots, X_T)$. On cherche à prévoir $X_{T+1}$. De façon générale, on note ${\cal{M}}_k$ l'espace vectoriel engendré par $(X_0,\ldots, X_k)$ et $$\hat{X}_{t}^k=P_{{\cal{M}}_k}(X_t)$$ la projection orthogonale de $X_t$ sur ${\cal{M}}_k$.

a)

Montrer que $$\hat{X}_{T+1}^T=\rho X_T$$.

b)

$\rho$ étant inconnu, on veut l'estimer. On considère alors l'estimateur $\hat{\rho}_T$ qui minimise (par rapport à $r$)

$$\sum_{t=1}^{T} (X_t-rX_{t-1})^2.$$

Montrer que le vecteur $$\hat{\rho}_T$$ est la projection orthogonale du vecteur $Y=^t(X_T,\ldots, X_1)$ sur l'espace vectoriel engendré par $(X_{T-1},\ldots, X_0)$. (On en déduit alors l'unicité de la solution).
Calculer $\hat{\rho}_T$ et en déduire que

$$\hat{\rho}_T-\rho=\frac{\sum_{t=1}^{T}{\varepsilon}_tX_{t-1}}{\sum_{t=1}^{T}X_{t-1}^2}.$$

Par conséquent on a $$\hat{X}_{T+1}^T=\hat{\rho}_TX_T$$.

c)

Calculer l'erreur de prédiction $$\hat{X}_{T+1}^T-X_{T+1}$$ et montrer qu'elle peut s'écrire comme la somme de l'erreur d'estimation et de l'erreur de prévision.