mathématiques appliquées et modélisation

Petits problèmes de mathématiques appliquées et de modélisation

Brigitte Bidégaray
LJK - Grenoble
(ex MIP - Toulouse)

Lionel Moisan
MAP5 - Paris 5
(CMLA - Cachan)

Cet ouvrage rassemble une trentaine de petits problèmes posés à l'épreuve orale de Mathématiques Appliquées du concours d'entrée à l'Ecole Normale Supérieure de Cachan, ainsi qu'un problème d'écrit. Ces problèmes sont corrigés en détail, et des indications séparées permettent de guider le lecteur dans leur résolution. Les énoncés sont présentés sous un angle purement mathématique, mais des commentaires approfondis les replacent ensuite dans le contexte précis de leurs applications, laissant souvent entrevoir dans leur généralisation des problèmes contemporains. Ce recueil est destiné aux étudiants et enseignants de classe préparatoire et de premier et second cycle universitaire, ainsi qu'aux candidats au CAPES et à l'agrégation de mathématiques (épreuve de modélisation).

Table des matières
Avant-propos
Chapitre 1. Enoncés
Chapitre 2. Solutions et commentaires
Chapitre 3. Indications
Chapitre 4. Un problème
Chapitre 5. Corrigé du problème
Index

Détail du chapitre 1

I. Équations différentielles et équations aux dérivées partielles 1. modèle de Child-Langmuir 2. modèle de Landau 3. équations de Bloch 4. explosion de la chaleur 5. moyennes itérées et équation de la chaleur 6. solutions particulières du scale-space affine	IV. Analyse numérique matricielle 19. normes subordonnées 20. méthode de Givens 21. méthodes itératives 22. théorème de Perron-Frobenius 23. quotients de Rayleigh
II. Opérateurs monotones et géométrie 7. un opérateur monotone non-linéaire 8. opérateurs morphologiques 9. dilatation euclidienne 10. érosion affine 11. autour de la courbure affine 12. formule de la coaire en dimension 1	V. Analyse asymptotique 24. lemmes de Gronwall 25. théorème de la phase stationnaire 26. méthode de Monte-Carlo 27. le problème des petits diviseurs
III. Optimisation et problèmes variationnels 13. splines cubiques d'interpolation 14. interpolation affine par morceaux 15. optimisation sans contrainte 16. théorème de Stampacchia 17. surfaces minimales : caténoïde 18. jeu de pièces

Avant propos

Cet ouvrage rassemble une trentaine d'exercices posés à l'oral de Mathématiques Appliquées au concours d'entrée à l'Ecole Normale Supérieure de Cachan, ainsi qu'un problème d'écrit. Il est divisé en cinq chapitres. Dans le chapitre 1, nous donnons les énoncés des exercices posés à l'oral, précédés d'une courte introduction destinée à présenter brièvement la motivation qui les a inspirés. Ces introductions font parfois allusion à des théories récentes et relativement spécialisées, mais il va sans dire que les énoncés eux-mêmes restent dans le cadre strict du programme des classes préparatoires. Dans le chapitre 2 se trouvent des solutions détaillées, suivies d'un commentaire plus long visant à replacer chaque exercice dans toute sa généralité et dans son contexte (références, motivations profondes, outils employés, analogies, etc.). Un chapitre d'indications permet de guider le lecteur ``bloqué'' dans la résolution d'un exercice, jouant en quelque sorte un des rôles de l'interrogateur dans une épreuve d'oral. Il est important de bien les distinguer des rares indications données dans les énoncés, qui étaient données quasiment instantanément lors des oraux après une brève discussion avec le candidat. A ce propos, il faut signaler qu'un bon nombre de ces exercices contiennent la matière pour 2 voire 3 planches, et ne sont donc pas forcément prévus pour être résolus en 45 minutes. Enfin, dans les chapitres 4 et 5, nous donnons l'énoncé et la correction détaillée d'un problème d'écrit.

Sans vouloir relancer l'éternel débat sur la distinction controversée entre ``mathématiques appliquées'' et ``mathématiques pures'', il nous semble opportun de préciser un peu dans quel esprit nous avons conçu ces exercices. Bien sûr, la majeure partie des mathématiques est - et a toujours été - applicable, en ce sens que la plupart des théories mathématiques ont étés utilisées pour résoudre des problèmes concrets, du théorème de Thalès inventé pour mesurer la hauteur des pyramides à l'arithmétique qui est désormais au coeur de la cryptographie moderne. C'est pourquoi il nous a semblé raisonnable de regrouper sous le terme de ``mathématiques appliquées et modélisation'' des démarches mathématiques où la motivation première réside dans la compréhension, la modélisation et la résolution d'un problème extérieur aux mathématiques. La plupart des exercices que nous avons rassemblés ici s'inscrivent bien dans cette catégorie. La motivation ``appliquée'' est présente à des degrés très divers au coeur même des énoncés, mais elle apparaît plus explicitement dans les commentaires donnés après les solutions.

Nous espérons que les lecteurs de cet ouvrage éprouveront comme nous un grand plaisir à entrevoir ces applications derrière l'aspect purement mathématique des exercices eux-mêmes.